每日一题[3680]冤家路窄

2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #3

已知函数 $f(x)=\sin\omega x+\sin 2 x$，其中 $\omega\in\mathbb N^+$，$\omega\leqslant 2023$，若 $f(x)<2$ 恒成立，则满足题设的常数 $\omega$ 的个数为_____．

答案    $1770$．

解析    根据题意，考虑反面，$y=\sin\omega x$ 与 $y=\sin 2x$ 的最大值点重合，也即 $$\dfrac{1}{\omega}\left(\dfrac{\pi}2+2k_1\pi\right)= \dfrac 12\left(\dfrac{\pi}2+2k_2\pi\right),\quad k_1,k_2\in\mathbb Z,$$ 也即 $$8k_1+2=4\omega k_2+\omega,\quad k_1,k_2\in\mathbb Z,$$ 于是 $\omega$ 为偶数，设 $\omega =2k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），则 $$4k_1+1=4kk_2+k,\quad k,k_1,k_2\in\mathbb Z,$$ 因此只需要 $k\equiv 1\pmod 4$，因此不满足题设的常数 $\omega$ 为所有模 $8$ 余 $2$ 的数，因此所求个数为 $2016\cdot \dfrac 78+6=1770$．