每日一题[3655]旋转飞镖

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #11

设复数 $a, b, c$ 满足 $|a|^2+|b|^2+|c|^2=1$，则 $f=a b\left(a^2-b^2\right)+b c\left(b^2-c^2\right)+c a\left(c^2-a^2\right)$ 的最大值为_____．

答案    $\dfrac 9{16}$．

解析    设 $a=a_1+a_2\mathrm i$，$b=b_1+b_2\mathrm i$，$c=c_1+c_2\mathrm i$，则 $$\sum_{\rm cyc}(a_1^2+a_2^2)=1,$$ 且有 $$\begin{split} |f|&=|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|\\ &=\sqrt{(a_1+b_1+c_1)^2+(a_2+b_2+c_2)^2}\cdot \prod_{\rm cyc}\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}\\ &\leqslant \left(\dfrac 14\left((a_1+b_1+c_1)^2+(a_2+b_2+c_2)^2+\sum_{\rm cyc}(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2\right)\right)^2\\ &=\left(\dfrac 34\sum_{\rm cyc}(a_1^2+a_2^2)\right)^2 \\ &=\dfrac9{16},\end{split}$$ 等号当 $|a-b|=|b-c|=|c-a|=|a+b+c|$ 时取得，考虑到可以同时旋转 $a,b,c$ 使得 $f$ 为正实数 $^{[1]}$，因此所求最大值为 $\dfrac 9{16}$．

备注

$[1]$ 事实上，令 $(a,b,c)=\left(t+r\cdot 1,t+r\cdot \omega,t+r\cdot \omega^2\right)$，其中 $t,r\in\mathbb R^+$，$\omega$ 是三次单位根 $-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2\mathrm i$，则 $$3(r^2+t^2)=1,\quad f=-9\sqrt 3r^3t\cdot \mathrm i,$$ 因此取 $t=\dfrac{\sqrt 3}6$，$r=\dfrac12$，再将 $a,b,c$ 再绕逆时针旋转 $90^\circ$ 即可使得 $f$ 取得 $\dfrac9{16}$．