每日一题[3654]配方与距离

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #10

函数 $f(x)=x^2-2 x-14 \sqrt{x-1}+x \sqrt{x^2-4 x-28 \sqrt{x-1}+61}$ 的最小值是_____．

答案   $-4$．

解析    根据题意，有

$$f(x) =\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^2-4 x-28 \sqrt{x-1}+61}\right)^2-\frac{61}{2},$$ 设 $g(x)=x+\sqrt{x^2-4 x-28 \sqrt{x-1}+61}$，则 $$\begin{split} g(x)&=x+\sqrt{x^2-4 x-28 \sqrt{x-1}+61} \\ & =\sqrt{(x-2)^2+(2 \sqrt{x-1}-0)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(2 \sqrt{x-1}-7)^2} \\ & \geqslant \sqrt{(4-2)^2+(7-0)^2} \\ & =\sqrt{53},\end{split}$$ 等号当点 $P(x,2\sqrt{x-1})$ 在以 $A(2,0),B(4,7)$ 为端点的线段上时取得，因此 $f(x)$ 的最小值为 $-4$．