每日一题[3653]焦点弦长

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #9

过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点作互相垂直的弦 $A C,BD$，已知四边形 $ABCD$ 的面积的取值范围为 $\left[8, \dfrac{25}{2}\right]$，则 $\dfrac{a}{b}=$_____．

答案    $2$．

解析    不妨设直线 $AC$ 和 $BD$ 的倾斜角分别为 $\alpha$ 和 $\alpha+\dfrac{\pi}2$，椭圆的焦距为 $2c$，则根据椭圆的焦点弦长公式可得

$$|AC|=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\alpha},|BD|=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\cos^2\alpha},$$ 因此四边形 $ABCD$ 的面积 $$S=\dfrac 12|AC|\cdot |BD|=\dfrac{2a^2b^4}{b^4+b^2c^2+\dfrac 14c^4\sin^22\alpha},$$ 于是 $S$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{8a^2b^4}{(a^2+b^2)^2},2b^2\right]$，最大值与最小值的比为 $\dfrac 14\left(\dfrac ab+\dfrac ab\right)^2$．