2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #8
已知在正 $n$ 边形顶点中任取 $3 $ 点，构成钝角三角形的概率为 $\dfrac{93}{125}$，则 $n$ 的可能值为_____．
答案 $127$ 或 $376$．
解析
一般情形
设正 $n$ 边形的顶点分别为 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，任取 $3$ 点构成三角形的个数为\[\dbinom n3=\dfrac 16n(n-1)(n-2).\]
情形一 $n=2k$（$k\in\mathbb N^{\ast} $），考虑 $ A_1 $ 为钝角顶点的情形，此时直径 $ A_1A_{k+1} $ 把圆弧分成两个部分，此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分，进而任取 $ 3 $ 点构成钝角三角形的总数为\[2k\sum_{i=2}^k(k-i)=k(k-1)(k-2)=\dfrac 18n(n-2)(n-4).\]
情形二 $n=2k+1$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），考虑 $ A_1 $ 为钝角顶点的情形，此时过 $A_1$ 的直径把圆弧分成两个部分，此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分，进而任取 $ 3 $ 点构成钝角三角形的总数为\[(2k+1)\sum_{i=2}^{k+1}(k+1-i)=\dfrac 12k(k-1)(2k+1)=\dfrac 18n(n-1)(n-3).\] 因此在正 $n$ 边形顶点中任取 $3 $ 点，构成钝角三角形的概率 $^{[1]}$ 为\[ \begin{cases} \dfrac{3n-12}{4n-4},&n~\text{为偶数},\\ \dfrac{3n-9}{4n-8},&n~\text{为奇数}.\end{cases}=\begin{cases} \dfrac34\left(1-\dfrac3{n-1}\right),&n~\text{为偶数},\\ \dfrac34\left(1-\dfrac1{n-2}\right),&n~\text{为奇数}.\end{cases}\]
回到本题 解方程可得 $n=127$ 或 $376$．
备注
$[1]$ 此概率当 $n\to +\infty$ 时的极限为 $\dfrac 34$，这是几何概型的一个常见练习题．