2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版) #3
已知集合 A,B,C 满足 A∪B∪C={1,2,⋯,2023},A∩B∩C=∅,设满足条件的集合对 (A,B,C) 有 n 个,则十进制下 n 的最后 2 位数是_____.
答案 16.
解析 集合 A,B,C 把 A∪B∪C={1,2,⋯,2023} [1] 分划为 6 个集合(ABC=∅):A−B−C,B−C−A,C−A−B,AB−C,BC−A,CA−B,因此 n=62023,考虑到62023≡0(mod4),62023=(5+1)2023≡2023⋅5+1≡16(mod25),因此 62023≡16(mod100) [2].
备注
[1] 网上另一个版本中 A∪B∪C={1,2,⋯,20230612},最后结果为 36.
[2] 也可以考虑用 6n 模 100 余数的周期性:6,36,16,96,76,56⏟,36,16,96,76,56⏟,⋯,因此 n=2023,20230612 时,十进制下 n 的最后 2 位数分别为 16,36.