每日一题[3647]六国战纪

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #3

已知集合 $A,B,C$ 满足 $A \cup B \cup C=\{1,2, \cdots, 2023\}$，$A \cap B \cap C=\varnothing$，设满足条件的集合对 $(A,B,C)$ 有 $n$ 个，则十进制下 $n$ 的最后 $2$ 位数是_____．

答案    $16$．

解析    集合 $A,B,C$ 把 $A\cup B\cup C=\{1,2,\cdots,2023\}$ $^{[1]}$ 分划为 $6$ 个集合（$ABC=\varnothing$）：

$$A-B-C,B-C-A,C-A-B,AB-C,BC-A,CA-B,$$ 因此 $n=6^{2023}$，考虑到 $$6^{2023}\equiv 0 \pmod 4,\quad 6^{2023}=(5+1)^{2023}\equiv 2023\cdot 5+1\equiv 16\pmod{25},$$ 因此 $6^{2023}\equiv 16\pmod{100}$ $^{[2]}$．

备注   

$[1]$ 网上另一个版本中 $A\cup B\cup C=\{1,2,\cdots,20230612\}$，最后结果为 $36$．

$[2]$ 也可以考虑用 $6^n$ 模 $100$ 余数的周期性：

$$6,\underbrace{36,16,96,76,56},\underbrace{36,16,96,76,56},\cdots,$$ 因此 $n=2023,20230612$ 时，十进制下 $n$ 的最后 $2$ 位数分别为 $16,36$．