每日一题[3646]缘分几何

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #2

$\left|2^x 3^y-2^u 5^v\right|=2$ 的正整数解 $(x, y, u, v)$ 个数为_____．

答案    $4$．

解析    根据题意，有 $x,u$ 不可能同时不小于 $2$，否则左边为 $4$ 的倍数，矛盾，因此 $x=1$ 或 $u=1$．

情形一     $x=1$．此时 $$3^y=2^{u-1}\cdot 5^v\pm 1,$$ 考虑模 $5$ 的余数，有 $$\begin{cases} y=4k,\\ 3^y=2^{u-1}\cdot 5^v+1,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} y=4k-2,\\ 3^y=2^{u-1}\cdot 5^v-1,\end{cases}$$ 若为前者，则 $$3^{4k}-1=2^{u-1}\cdot 5^v\implies 80(1+81+\cdots+81^{k-1})=2^{u-1}\cdot 5^v\implies 1+81+\cdots+81^{k-1}=2^{u-5}\cdot 5^{v-1},$$ 若 $v=1$，则 $$2^{u-1}\cdot 5=3^{4k}-1=\dfrac{9^k-1}2\cdot \dfrac{9^k+1}2,$$ 其中 $\dfrac{9^k+1}2$ 为不大于 $5$ 的奇数，从而 $k=1$，解得 $(x,y,u,v)=(1,4,5,1)$． 若 $v\geqslant 2$，则 $5\mid k$，于是 $$3^5-1\mid 3^{4k-1}\implies 2\cdot 11^2\mid 2^{u-1}5^v,$$ 不可能． 若为后者，则 $$3^{4k-2}-2^{u-1}5^v=-1,$$ 两边模 $4$，有 $$1-2^{u-1}\equiv 3\pmod 4\implies 2^{u-1}\equiv 2\pmod 4\implies u=2,$$ 于是 $$3^{4k-2}-2\cdot 5^v=-1\implies 2\cdot 5^v=3^{4k-2}+1=10(1+(-9)+\cdots+(-9)^{2k-2})\implies 1+(-9)+\cdots+(-9)^{2k-2}=5^{v-1},$$ 若 $v=1$，解得 $(x,y,u,v)=(1,2,2,1)$； 若 $v\geqslant 2$，则 $5\mid 2k-1$，与之前的分析类似，不可能．

情形二     $x\geqslant 2$，此时 $u=1$，方程即 $$2^{x-1} 3^y=5^v\pm 1.$$ 若 $x=2$，方程化为 $$2\cdot 3^y=5^v\pm 1,$$ 而 $4\mid 5^v-1$，于是 $$2\cdot 3^y=5^v+1,$$ 若 $y=1$，则 $(x,y,u,v)=(2,1,1,1)$； 若 $y\geqslant 2$，则 $3\mid v$，于是 $$5^3+1\mid 5^v+1\implies 2\cdot 3^2\cdot 7\mid 5^v+1\implies 7\mid 2\cdot 3^y,$$ 不可能． 若 $x\geqslant 3$，则 $$2^{x-1}3^y-5^v\equiv 3\pmod 4\implies 2^{x-1}3^y-5^v=-1,$$ 从而 $$-5^v\equiv 2\pmod 3\implies 5^v\equiv 1\pmod 3,$$ 因此 $v$ 是偶数，从而 $$2^{x-1}3^y=5^v-1=\dfrac{5^{\frac v2}-1}2\cdot\dfrac{5^{\frac v2}+1}2,$$ 又 $\dfrac{5^{\frac v2}-1}2,\dfrac{5^{\frac v2}+1}2$ 互质，且 $\dfrac{5^{\frac v2}+1}2$ 为奇数，于是 $$\dfrac{5^{\frac v2}+1}2=3^y\implies 2\cdot 3^y-5^{\frac v2}=1,$$ 进而结合情形一的讨论，有 $(u,\frac v2)=(1,1)$，于是 $(x,y,u,v)=(4,1,1,2)$．

综上所述，有 $$(x, y, u, v)=(1,4,5,1),(1,2,2,1),(2,1,1,1),(4,1,1,2),$$ 所以 $\left|2^x 3^y-2^u 5^v\right|=2$ 的正整数解的个数为 $4$．