每日一题[3645]两次均值

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #1

已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，则 代数式 $f=\dfrac{\left(1-\sqrt{\tan \dfrac{\alpha}{2} \tan \dfrac{\beta}{2}}\right)^2}{\cot\alpha+\cot \beta}$ 的最大值是_______．

答案    $3-2\sqrt 2$．

解析    设 $m=\sqrt{\tan\dfrac{\alpha}2}$，$n=\sqrt{\tan\dfrac{\beta}2}$，则 $m,n\in (0,1)$，且

$$\begin{split} f&=\dfrac{(1-mn)^2}{\dfrac{1-m^4}{2m^2}+\dfrac{1-n^4}{2n^2}}\\ &=\dfrac{(1-mn)^2\cdot 2m^2n^2}{(m^2+n^2)(1-m^2n^2)}\\ &=\dfrac{2m^2n^2(1-mn)}{(m^2+n^2)(1+mn)}\\ &\leqslant \dfrac {mn(1-mn)}{1+mn}\\ &=3-\left((1+mn)+\dfrac 2{1+mn}\right)\\ &\leqslant 3-2\sqrt 2,\end{split}$$ 等号当 $m=n$ 且 $1+mn=\sqrt 2$ 即 $m=n=\sqrt{\sqrt 2-1}$ 时取得，因此所求代数式 $f$ 的最大值为 $3-2\sqrt 2$．