每日一题[3643]旋转二面角

2025年八省高考适应性模拟演练数学 #19

在平面四边形 ABCD 中,AB=AC=CD=1ADC=30DAB=120,将 ACD 沿 AC 翻折至 ACP,其中 P 为动点.

1、设 PCAB,三棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 的球面上.

① 证明:平面 PAC 平面 ABC

② 求球 O 的半径;

2、求二面角 ACPB 的余弦值的最小值.

解析

1、如图.

ABACABPC,于是 ABPAC,从而 PACABC

② 建立空间直角坐标系 ABCz,则 A(0,0,0)B(1,0,0)C(0,1,0)P(0,32,32),三棱锥 PABC 的外接球球心 O 在底面 ABC 上的投影为 ABC 的外心,于是设 O(12,12,t),则|AO|=|OP|12+t2=52+(t32)2t=32,

进而球 O 的半径为 102

2、根据第 (1) 小题的结果,设 P(m,32,n),其中 m2+n2=34n2=34m2m[32,32],有{AC=(0,1,0),CP=(m,12,n),PB=(1m,32,n),{nACP=(n,0,m),nCPB=(2n,2n,2m1),

因此二面角 ACPB 的余弦值cosθ=nACPnCPB|nACP||nCPB|=2n2+2m2+mm2+n28n2+(2m+1)2=32+m374+mm2,
k=cos2θk>0),则(1+3k)m2+3(1k)m+921k4=0,
进而9(1k)2(1+3k)(921k)0,
解得 k13,等号当 m=12 时取得,因此所求最小值为 33

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每日一题[3643]旋转二面角》有2条回应

  1. lh说:

    球的半径是不是算错了啊 ,还是我算错了啊。O点(1/2, 1/2, 更号3/2)与A点(0,0,0)之间的距离应该是r=更号5/2

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