2025年八省高考适应性模拟演练数学 #19
在平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=A C=C D=1$，$\angle A D C=30^{\circ}$，$\angle D A B=120^{\circ}$，将 $\triangle A C D$ 沿 $A C$ 翻折至 $\triangle A C P$，其中 $P$ 为动点．
1、设 $P C \perp A B$，三棱锥 $P-A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上．
① 证明：平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$；
② 求球 $O$ 的半径；
2、求二面角 $A-C P-B$ 的余弦值的最小值．
解析
1、如图．
① $AB\perp AC$，$AB\perp PC$，于是 $AB\perp PAC$，从而 $PAC\perp ABC$；
② 建立空间直角坐标系 $A-BCz$，则 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$ C(0,1,0)$，$ P\left(0,\dfrac 32,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，三棱锥 $ P-ABC $ 的外接球球心 $ O $ 在底面 $ ABC $ 上的投影为 $ \triangle ABC $ 的外心，于是设 $ O\left(\dfrac 12,\dfrac 12,t\right)$，则\[|AO|=|OP|\implies \dfrac 12+t^2=\dfrac 52+\left(t-\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2\implies t=\dfrac{\sqrt 3}2,\]进而球 $O$ 的半径为 $\dfrac{\sqrt{10}}2$．
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，设 $P\left(m,\dfrac 32,n\right)$，其中 $m^2+n^2=\dfrac 34$ 即 $n^2=\dfrac 34-m^2$，$m\in\left[-\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right]$，有\[\begin{cases} \overrightarrow{AC}=(0,1,0),\\ \overrightarrow{CP}=\left(m,\dfrac 12,n\right),\\ \overrightarrow{PB}=\left(1-m,-\dfrac 32,-n\right),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow n_{ACP}=(n,0,-m),\\ \overrightarrow n_{CPB}=(2n,2n,-2m-1),\end{cases}\]因此二面角 $A-C P-B$ 的余弦值\[\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow n_{ACP}\cdot \overrightarrow n_{CPB}}{\left|\overrightarrow n_{ACP}\right|\cdot\left| \overrightarrow n_{CPB}\right|}=\dfrac{2n^2+2m^2+m}{\sqrt{m^2+n^2}\cdot \sqrt{8n^2+(2m+1)^2}}=\dfrac{\dfrac 32+m}{\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac 74+m-m^2}},\]设 $k=\cos^2\theta$（$k>0$），则\[(1+3k)m^2+3(1-k)m+\dfrac {9-21k}4=0,\]进而\[9(1-k)^2-(1+3k)(9-21k)\geqslant 0,\]解得 $k\geqslant \dfrac 13$，等号当 $m=-\dfrac 12$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．