2025年八省高考适应性模拟演练数学 #19
在平面四边形 ABCD 中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30∘,∠DAB=120∘,将 △ACD 沿 AC 翻折至 △ACP,其中 P 为动点.
1、设 PC⊥AB,三棱锥 P−ABC 的各个顶点都在球 O 的球面上.
① 证明:平面 PAC⊥ 平面 ABC;
② 求球 O 的半径;
2、求二面角 A−CP−B 的余弦值的最小值.
解析
1、如图.
① AB⊥AC,AB⊥PC,于是 AB⊥PAC,从而 PAC⊥ABC;
② 建立空间直角坐标系 A−BCz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,32,√32),三棱锥 P−ABC 的外接球球心 O 在底面 ABC 上的投影为 △ABC 的外心,于是设 O(12,12,t),则|AO|=|OP|⟹12+t2=52+(t−√32)2⟹t=√32,
进而球 O 的半径为 √102.
2、根据第 (1) 小题的结果,设 P(m,32,n),其中 m2+n2=34 即 n2=34−m2,m∈[−√32,√32],有{→AC=(0,1,0),→CP=(m,12,n),→PB=(1−m,−32,−n),⟹{→nACP=(n,0,−m),→nCPB=(2n,2n,−2m−1),
因此二面角 A−CP−B 的余弦值cosθ=→nACP⋅→nCPB|→nACP|⋅|→nCPB|=2n2+2m2+m√m2+n2⋅√8n2+(2m+1)2=32+m√3⋅√74+m−m2,
设 k=cos2θ(k>0),则(1+3k)m2+3(1−k)m+9−21k4=0,
进而9(1−k)2−(1+3k)(9−21k)⩾0,
解得 k⩾13,等号当 m=−12 时取得,因此所求最小值为 √33.
球的半径是不是算错了啊 ,还是我算错了啊。O点(1/2, 1/2, 更号3/2)与A点(0,0,0)之间的距离应该是r=更号5/2
是的,应该是√52