每日一题[3636]稠密与疏松

给定正整数 $n \geqslant 3$，设数列 $A_n: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $a_i=\dfrac{i^2}{n}$（$i=1,2, \cdots, n$）．对于正数 $x$，定义

$$G(x)=\max \{t \in \mathbb{N}\mid x \geqslant t \},$$ 其中 $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．记集合 $$G\left(A_n\right)=\left\{G\left(a_i\right)\mid i=1,2, \cdots, n \right\},$$ 设 $G\left(A_n\right)$ 的元素个数为 $g\left(A_n\right)$．

1、写出集合 $G\left(A_3\right), G\left(A_4\right)$；

2、若 $n-g\left(A_n\right)=1$，求 $n$ 的所有可能取值；

3、证明：存在无穷多个 $n$ 使得 $g\left(A_n\right)=g\left(A_{n+1}\right)$．

解析

1、根据题意，$G(x)=[x]$，进而有

$$A_3:\dfrac 13,\dfrac 43,3,\quad A_4:\dfrac 14,1,\dfrac 94,4,$$ 从而 $G(A_3)=\{0,1,3\}$，$G(A_4)=\{0,1,2,4\}$．

2、若 $n-g(A_n)=1$，则 $g(A_n)=n-1$，根据 $(1)$ 中的结论，$n=3,4$ 不符合题意，因此 $n\geqslant 5$．由于 $\{A_n\}$ 单调递增，于是

$$\left[\dfrac {1^2}n\right]\leqslant \left[\dfrac {2^2}n\right]\leqslant \cdots \leqslant \left[\dfrac{n^2}n\right],$$ 又 $n\geqslant 5$ 时，有 $$\left[\dfrac {1^2}n\right]= \left[\dfrac {2^2}n\right]=0,\quad \left[\dfrac{3^2}n\right]\leqslant 1,$$ 而 $\left[\dfrac{n^2}n\right]=n$，于是 $\left[\dfrac{3^2}n\right]=1$（否则 $g(A_n)\leqslant n-2$），从而 $5\leqslant n\leqslant 9$，验证如下： $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline n&G(A_n)&g(A_n)&\text{是否满足要求}\\ \hline 5&\{0,1,3,5\}&4&\checkmark\\ \hline 6&\{0,1,2,4,6\}&5&\checkmark\\ \hline 7&\{0,1,2,3,5,7\}&6&\checkmark\\ \hline 8&\{0,1,2,3,4,6,8\}&7&\checkmark\\ \hline 9&\{0,1,2,4,5,7,9\}&7&\times\\ \hline\end{array}$$ 因此 $n$ 的所有可能取值为 $5,6,7,8$．

3、考虑当 $k\geqslant 2$ 时，有

$$a_{k}-a_{k-1}=\dfrac{k^2-(k-1)^2}{n}=\dfrac{2k-1}{n},$$ 因此当 $k\leqslant \dfrac{n+1}2$ 时，有 $$a_{k}-a_{k-1}\leqslant 1\implies [a_{k}]=[a_{k-1}]~\text{或}~[a_{k}]=[a_{k-1}]+1,$$ 而当 $k> \dfrac{n+1}2$ 时，有 $$a_{k}-a_{k-1}>1\implies [a_{k}]\geqslant [a_{k-1}]+1,$$ 这意味着 $\{[a_k]\}$ 在前半段遍历 $0,1,\cdots,t$，而在后半段各不相同．

考虑当 $n=4m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$）时，有

$$[a_{2m}]=\left[\dfrac{(2m)^2}{4m}\right]=\left[m\right]=m,$$ 于是 $$\begin{split} g(A_{4m})&={\rm Card}\left\{[a_i]\mid 1\leqslant i\leqslant 4m\right\}\\ &={\rm Card}\{[a_i]\mid 1\leqslant i\leqslant 2m\}+{\rm Card}\{[a_i]\mid 2m+1\leqslant i\leqslant 4m\}\\ &=(m+1)+2m\\ &=3m+1,\end{split}$$ 而当 $n=4m+1$（$m\in\mathbb N*$）时，有 $$a_{2m+1}=\left[\dfrac{(2m+1)^2}{4m+1}\right]=\left[\dfrac{4m^2+4m+1}{4m+1}\right]=m,$$ 于是 $$\begin{split} g(A_{4m+1})&={\rm Card}\left\{[a_i]\mid 1\leqslant i\leqslant 4m+1\right\}\\ &={\rm Card}\{[a_i]\mid 1\leqslant i\leqslant 2m+1\}+{\rm Card}\{[a_i]\mid 2m+2\leqslant i\leqslant 4m+1\}\\ &=(m+1)+2m\\ &=3m+1,\end{split}$$

综上所述，命题得证．