每日一题[3635]A模型

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点为 $A(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、过点 $P(0,2)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $C, D$．在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ 使得直线 $Q C$ 与直线 $Q D$ 的斜率之和为 $0$？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

解析

1、根据题意，有长半轴长 $a=2$，且离心率 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2$，于是 $a^2=4$，$b^2=1$，所求椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．

2、根据有心二次曲线的 $A$ 张角平移模型 $^{[1]}$，可得存在定点 $Q\left(0,\dfrac 12\right)$ 满足条件．

备注    $[1]$ 对有心二次曲线 $\Gamma:mx^2+ny^2=1$（$m>0$），过 $x$ 轴上定点 $T(t,0)$ 作斜率互为相反数的直线与 $\Gamma$ 分别交于 $A,C$ 以及 $B,D$，且 $A,B$ 和 $C,D$ 分别关于 $x$ 轴对称，则 $AD,BC$ 过定点 $S(s,0)$，且 $s\cdot t\cdot m=1$．