每日一题[3632]奇偶配对

对于给定的正整数 $n$（$n \geqslant 2$），设集合 $M=\{k \in \mathbb{Z} \mid-n \leqslant k \leqslant n\}$，集合 $A, B$ 是 $M$ 的非空子集且满足 $A \cup B=M$，$A \cap B=\varnothing$．若对于任意 $x \in A$，在集合 $B$ 中有唯一确定的数 $y$，使得 $x+y$ 为偶数，则记 $y=p(x)$，并称 $p: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数．

1、当 $n=3$ 时，若集合 $A=\{-3,-1,1,3\}$，写出集合 $B$，并判断从集合 $A$ 到集合 $B$ 是否存在 $P$ 函数？说明理由；

2、若集合 $A$ 至少包含一个奇数，且 $p: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数，求证：存在 $x \in A$，使得 $p(x)=-x$；

3、若 $p: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数，且对于任意 $x \in A$，都有 $p(x) \geqslant x$，求满足条件的集合 $A$ 的所有可能．

解析

1、当 $n=3$ 时，$M=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$，$B=\{-2,0,2\}$，此时 $A$ 中所有元素均为奇数，$B$ 中所有元素均为偶数，其和一定为奇数，不满足 $P$ 函数条件，因此不存在从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数．

2、用反证法．若命题不成立，则考虑集合 $A$ 中的任意元素 $x$，均有 $p(x)\ne -x$，因此 $-x\in A$（否则集合 $B$ 中 $-x,p(x)$ 与 $x$ 的和均为偶数，与唯一性矛盾）． 取集合 $A$ 中的奇数 $k$，有 $-k\in A$，$p(k)\in B$，考虑 $-p(k)$ 的位置： 若 $-p(k)\in A$，则 $p(k)\in A$，矛盾； 若 $-p(k)\in B$，则集合 $B$ 中存在 $p(k),-p(k)$ 与 $k$ 的和均为偶数，与唯一性矛盾； 综上所述，原命题得证．

3、对于集合 $B$，有下列结论：

① 由 $P$ 函数定义中的唯一性，集合 $B$ 中奇数和偶数个数至少有一者为 $1$．

② 由于对于任意 $x \in A$，都有 $p(x) \geqslant x$，因此 $n\in B$．

③ 若 $n-1\in A$，根据要求有 $p(n-1)\geqslant n-1$，此时 $p(n-1)=n$，但 $n+(n-1)$ 是奇数，不满足要求，因此 $n-1\notin A$，进而 $n-1\in B$．

因此将 $M$ 划分为 $$\begin{split} M_1&=\{k\in\mathbb Z\mid -n\leqslant k\leqslant n-2,2\nmid k\},\\ M_2&=\{k\in\mathbb Z\mid -n\leqslant k\leqslant n-2,2\mid k\},\\ M_0&=\{n-1,n\},\end{split}$$ 则集合 $A$ 的所有可能是 $M_1,M_2,M_1\cup M_2$．