每日一题[3631]讨论技巧

已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^2-2 x, &x \geqslant a, \\ 2^x+a, &x<a .\end{cases}$ 给出下面四个结论：

① 当 $a=1$ 时 $f(x)$ 只有一个零点；

② 对任意 $a>3$，$f(x)$ 既没有最大值，也没有最小值；

③ 存在实数 $a$，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；

④ 若 $f(x)$ 存在最小值，则 $a$ 的最小值为 $-1$．

其中所有正确结论的序号是_____．

答案    ①②④．

解析    函数 $f_1(x)=2^x+a$（$x<a$）的图象是从 $A(-\infty,a)$ 到 $B(a,2^a+a)$ 的递增开曲线；函数 $f_2(x)=x^2-2x$（$x\geqslant a$）的图象是从 $C(a,a^2-2a)$ 到 $D(+\infty,+\infty)$ 的左闭右开曲线．

分析零点    讨论分界点为 $2^a+a=0$ 的实数解 $a=a_1$ $^{[1]}$，以及 $a=0,2$，有

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline\ a&(-\infty,a_1)&a_1&(a_1,0)&0&(0,2)&2&(2,+\infty) \\ \hline f_1(x)~\text{的零点个数}&0&0&1&0&0&0&0\\ \hline f_2(x)~\text{的零点个数}&2&2&2&1&1&1&0\\ \hline \end{array}$$ 因此 $f(x)$ 的零点个数为 $$\begin{cases} 0,&a\in (2,+\infty),\\ 1,&a\in[0,2],\\ 2,&a\in(-\infty,a_1],\\ 3,&a\in(a_1,0).\end{cases}$$

分析单调性    讨论分界点为 $a=1$． 当 $a<1$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,a)$ 上单调递增，在 $[a,1]$ 上单调递减，在 $[1,+\infty)$ 上单调递增； 当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,a)$ 上单调递增，在 $[a,+\infty)$ 上单调递增．但由于 $f(a^-)>f(a)$，于是 $f(x)$ 并不在 $\mathbb R$ 上单调递增．

分析最值    当 $x\to +\infty$ 时，有 $f(x)\to +\infty$，因此函数 $f(x)$ 没有最大值．关于最小值，讨论分界点为 $a=-1,1$ 以及 $a=a^2-2a$ 的实数解 $a=0,3$，

当 $a<-1$ 时，$f(x)$ 没有最小值，有下确界 $a$； 当 $-1\leqslant a\leqslant 1$ 时，$f(x)$ 有最小值 $-1$； 当 $1<a\leqslant 3$ 时，$f(x)$ 有最小值 $a^2-2a$； 当 $a>3$ 时，$f(x)$ 没有最小值，有下确界 $a$．

根据以上分析，所有正确结论的序号为 ①②④．