每日一题[3630]零点重逢

已知不等式 $(x-m)\left(x^2-n x-2\right) \geqslant 0$ 对任意 $x>0$ 均成立，则 $m^2+n^2$ 的最小值为（     ）

A．$4 \sqrt{2}-4$

B．$4$

C．$4 \sqrt{2}$

D．$4 \sqrt{2}+2$

答案    A．

解析    观察不等式左侧因式，方程 $x^2-nx-2=0$ 必然有一个正根和一个负根，根据题意，$x=m$ 即为该方程的正根，于是

$$\begin{cases} m>0,\\ m^2-mn-2=0,\end{cases}\implies n=m-\dfrac 2m,m>0,$$ 从而 $$m^2+n^2=m^2+\left(m-\dfrac 2m\right)^2=2m^2+\dfrac4{m^2}-4\geqslant 2\sqrt {2m^2\cdot \dfrac4{m^2}}-4=4\sqrt 2-4,$$ 等号当 $m=\sqrt[4]2$ 时取得，因此所求最小值为 $4\sqrt 2-4$．