每日一题[3629]庖丁解牛

如图，边长分别为 $1,2,\sqrt 5$ 的直角三角形 $PQR$ 内接于等腰直角三角形 $ABC$，直角顶点在斜边 $AB$ 上，$Q,R$ 分别在 $BC,CA$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_____．

答案    $\dfrac 92$．

解析    如图，设 $R,Q$ 在 $AB$ 上的投影分别为 $M,N$．

设 $\angle QPN=\angle MRP=\theta$，则 $$\begin{cases} BM=RM=RP\cos\theta,\\ MP=RP\sin\theta,\\ PN=PQ\cos\theta,\\ NC=QN=PQ\sin\theta,\end{cases}\implies BC=BM+MP+PN+NC=(RP+PQ)(\sin\theta+\cos\theta),$$ 因此 $BC$ 的最大值为 $\sqrt 2(PR+PQ)=3\sqrt 2$，进而 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac 92$．