2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19
黎曼 ζ 函数 ζ(s) 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.ζ(s) 是这样定义的:记 Re(s) 为复数 s 的实部,ψk(s)=k∑n=11ns(n∈N∗).当 Re(s)>1 时,有 ζ(s)=limk→+∞ψk(s),故 ψk(s) 对 ζ(s) 的研究具有重要意义.
1、已知对任意正整数 n,都存在唯一的整数 an 和 bn,使得 n=an⋅2bn,其中 an 为奇数,bn 为自然数,求 10∑n=1(an+bn);
2、试判断是否存在正整数 k,使得 ψk(1)=2024,并证明你的结论;
3、求证:ψk(32)<3.
解析
1、根据题意,有n12345678910an1131537195bn0102010301 从而10∑n=1(an+bn)=44.
2、设 n=an⋅2bn,其中 an 为奇数,bn 为自然数,定义r=max{bn},n=1,2,⋯k,而j=max{n∣bn=r,n⩽k},且 j=aj×2bj. 下面证明 aj=1.否则,当 aj⩾3 时,有2bj+1<aj⋅2bj=j,与 r 的定义矛盾,故 j=2bj,则1+12+13+⋯+1j+⋯+1k=1+12+13+⋯+12bj+⋯+1k=c1+c2+⋯+cj+⋯+cna1a2⋯an2bj,其中 cj 为奇数,i≠j 时 ci 为偶数,从而分子为奇数,分母为偶数,分式不可能为 2024,故不存在符合题意的正整数 k.
3、根据题意,有ψk(32)=k∑n=11n32<1+k∑n=2(2√n−12−2√n+12)<1+2√2−12=1+2√63<3,命题得证.