每日一题[3610]裂项放缩

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19

黎曼 ζ 函数 ζ(s) 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.ζ(s) 是这样定义的:记 Re(s) 为复数 s 的实部,ψk(s)=kn=11nsnN).当 Re(s)>1 时,有 ζ(s)=limk+ψk(s),故 ψk(s)ζ(s) 的研究具有重要意义.

1、已知对任意正整数 n,都存在唯一的整数 anbn,使得 n=an2bn,其中 an 为奇数,bn 为自然数,求 10n=1(an+bn);

2、试判断是否存在正整数 k,使得 ψk(1)=2024,并证明你的结论;

3、求证:ψk(32)<3

解析

1、根据题意,有n12345678910an1131537195bn0102010301 从而10n=1(an+bn)=44.

2、设 n=an2bn,其中 an 为奇数,bn 为自然数,定义r=max{bn},n=1,2,k,j=max{nbn=r,nk},j=aj×2bj. 下面证明 aj=1.否则,当 aj3 时,有2bj+1<aj2bj=j,r 的定义矛盾,故 j=2bj,则1+12+13++1j++1k=1+12+13++12bj++1k=c1+c2++cj++cna1a2an2bj,其中 cj 为奇数,ijci 为偶数,从而分子为奇数,分母为偶数,分式不可能为 2024,故不存在符合题意的正整数 k

3、根据题意,有ψk(32)=kn=11n32<1+kn=2(2n122n+12)<1+2212=1+263<3,命题得证.

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