2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19
黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．$\zeta(s)$ 是这样定义的：记 $\operatorname{Re}(s)$ 为复数 $s$ 的实部，$\displaystyle \psi_k(s)=\sum\limits_{n=1}^k\dfrac 1{n^s}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．当 $\operatorname{Re}(s)>1$ 时，有 $\zeta(s)=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\psi_k(s)$，故 $\psi_k(s)$ 对 $\zeta(s)$ 的研究具有重要意义．
1、已知对任意正整数 $n$，都存在唯一的整数 $a_n$ 和 $b_n$，使得 $n=a_n\cdot 2^{b_n}$，其中 $a_n$ 为奇数，$b_n$ 为自然数，求 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{10}\left(a_n+b_n\right) ;$
2、试判断是否存在正整数 $k$，使得 $\psi_k(1)=2024$，并证明你的结论；
3、求证：$\psi_k\left(\dfrac 3 2\right)<3$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_n&1&1&3&1&5&3&7&1&9&5\\ \hline b_n&0&1&0&2&0&1&0&3&0&1\\ \hline\end{array}\] 从而\[\sum_{n=1}^{10}\left(a_n+b_n\right)=44.\]
2、设 $n=a_n\cdot 2^{b_n}$，其中 $a_n$ 为奇数，$b_n$ 为自然数，定义\[r=\displaystyle\max\left\{b_n\right\},\quad n=1,2,\cdots k,\]而\[j=\displaystyle\max\left\{n\mid b_n=r,n\leqslant k\right\},\]且 $j=a_j\times 2^{b_j}$． 下面证明 $a_j=1$．否则，当 $a_j\geqslant 3$ 时，有\[2^{b_j+1}<a_j\cdot 2^{b_j}=j,\]与 $r$ 的定义矛盾，故 $j=2^{b_j}$，则\[1+\dfrac 1 2+\dfrac 1 3+\cdots+\dfrac 1 j+\cdots+\dfrac 1 k=1+\dfrac 1 2+\dfrac 1 3+\cdots+\dfrac 1{2^{b_j}}+\cdots+\dfrac 1 k=\dfrac{c_1+c_2+\cdots+c_j+\cdots+c_n}{a_1 a_2\cdots a_n 2^{b_j}},\]其中 $c_j$ 为奇数，$i\neq j$ 时 $c_i$ 为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数，分式不可能为 $2024$，故不存在符合题意的正整数 $k$．
3、根据题意，有\[\begin{split} \psi _k\left(\dfrac32\right)&=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^{\frac 32}}\\ &<1+\sum_{n=2}^k\left(\dfrac{2}{\sqrt{n-\frac12}}-\dfrac{2}{\sqrt {n+\frac 12}}\right)\\ &<1+\dfrac{2}{\sqrt{2-\frac 12}}\\ &=1+\dfrac{2\sqrt 6}3\\ &<3 ,\end{split}\]命题得证．