2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19
黎曼 ζ 函数 ζ(s) 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.ζ(s) 是这样定义的:记 Re(s) 为复数 s 的实部,ψk(s)=k∑n=11ns(n∈N∗).当 Re(s)>1 时,有 ζ(s)=limk→+∞ψk(s),故 ψk(s) 对 ζ(s) 的研究具有重要意义.
1、已知对任意正整数 n,都存在唯一的整数 an 和 bn,使得 n=an⋅2bn,其中 an 为奇数,bn 为自然数,求 10∑n=1(an+bn);
2、试判断是否存在正整数 k,使得 ψk(1)=2024,并证明你的结论;
3、求证:ψk(32)<3.
解析
1、根据题意,有n12345678910an1131537195bn0102010301 从而10∑n=1(an+bn)=44.
2、设 n=an⋅2bn,其中 an 为奇数,bn 为自然数,定义r=max{bn},n=1,2,⋯k,而j=max{n∣bn=r,n⩽且 j=a_j\times 2^{b_j}. 下面证明 a_j=1.否则,当 a_j\geqslant 3 时,有2^{b_j+1}<a_j\cdot 2^{b_j}=j,与 r 的定义矛盾,故 j=2^{b_j},则1+\dfrac 1 2+\dfrac 1 3+\cdots+\dfrac 1 j+\cdots+\dfrac 1 k=1+\dfrac 1 2+\dfrac 1 3+\cdots+\dfrac 1{2^{b_j}}+\cdots+\dfrac 1 k=\dfrac{c_1+c_2+\cdots+c_j+\cdots+c_n}{a_1 a_2\cdots a_n 2^{b_j}},其中 c_j 为奇数,i\neq j 时 c_i 为偶数,从而分子为奇数,分母为偶数,分式不可能为 2024,故不存在符合题意的正整数 k.
3、根据题意,有\begin{split} \psi _k\left(\dfrac32\right)&=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^{\frac 32}}\\ &<1+\sum_{n=2}^k\left(\dfrac{2}{\sqrt{n-\frac12}}-\dfrac{2}{\sqrt {n+\frac 12}}\right)\\ &<1+\dfrac{2}{\sqrt{2-\frac 12}}\\ &=1+\dfrac{2\sqrt 6}3\\ &<3 ,\end{split}命题得证.