每日一题[3607]三相箔

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #10

已知曲线 $C: 4 x|x|=y|y|-4$，点 $F_1(0,\sqrt 5)$，$F_2(0,-\sqrt 5)$，则以下说法正确的是（       ）

A．曲线 $C$ 关于原点对称

B．曲线 $C$ 存在点 $P$，使得 $\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|=4$

C．直线 $y=2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点

D．点 $Q$ 是曲线 $C$ 上在第三象限内的一点，过点 $Q$ 向 $y=\pm 2 x$ 作垂线，垂足分别为 $A,B$，则 $|QA|\cdot|QB|=\dfrac 4 5$

答案    CD．

解析    题中曲线方程按象限讨论如下

$$\begin{array}{c|c|c}\hline &x<0&x>0\\ \hline y>0&\dfrac{y^2}4+x^2=1&\dfrac{y^2}4-x^2=1\\ \hline y<0&x^2-\dfrac{y^2}4=1&\text{不可能}\\ \hline\end{array}$$

对于选项 $\boxed{A}$，由于曲线存在第二象限的部分，但不存在第四象限的部分，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，即考虑曲线 $C$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 的左支是否有公共点，联立计算可得选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，联立曲线 $C$ 与直线 $y=2x$，可得没有公共点，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，设 $Q(x_0,y_0)$，则

$$\begin{split} |QA|\cdot |QB|&= \dfrac{|y_0-2x_0|}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{|y_0+2x_0|}{\sqrt 5}\\ &=\dfrac{|y_0^2-4x_0^2|}{5}\\ &=\dfrac 45,\end{split}$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项有 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．