每日一题[3606]余弦距离

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #8

研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩，物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班 $50$ 位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量 $x , y , z$ 若 $x , y$ 的样本相关系数为 $\dfrac{12}{13}$，$y , z$ 的样本相关系数为 $\dfrac 4 5$，则 $x , z$ 的样本相关系数的最大值为（       ）

附：相关系数 $$r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline y\right)^2}}$$

A．$\dfrac{48}{65}$

B．$\dfrac{63}{65}$

C．$\dfrac{64}{65}$

D．$1$

答案    B．

解析    设 $$\begin{cases} \boldsymbol X=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right),\\ \boldsymbol Y=\left(y_1,y_2,\cdots,y_n\right),\\ \boldsymbol Z=\left(z_1,z_2,\cdots,z_n\right),\end{cases} \quad \begin{cases} \boldsymbol X^{\prime}=\left(x_1-\overline x,x_2-\overline x,\cdots,x_n-\overline x\right),\\ \boldsymbol Y^{\prime}=\left(y_1-\overline y,y_2-\overline y,\cdots,y_n-\overline y\right),\\ \boldsymbol Z^{\prime}=\left(z_1-\overline z,z_2-\overline z,\cdots,z_n-\overline z\right),\end{cases}$$ 设 $\boldsymbol X^{\prime}$ 与 $\boldsymbol Y^{\prime}$ 夹角为 $\alpha$，$\boldsymbol Y^{\prime}$ 与 $\boldsymbol Z^{\prime}$ 夹角为 $\beta$，则 $\boldsymbol X^{\prime}$ 与 $\boldsymbol Z^{\prime}$ 夹角余弦值最大值为 $\cos (\alpha-\beta)$，此时 $x$ 与 $z$ 样本相关系数最大，从而 $$\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{12}{13}\times\dfrac 4 5+\dfrac 5{13}\times\dfrac 3 5=\dfrac{63}{65}.$$