每日一题[3604]迭代函数

2024年10月九省联考高三数学质量检测 #19

已知曲线 y=f(x) 在点 (a1,f(a1)) 处的切线交 x 轴于点 (a2,0),曲线 y=f(x) 在点 (a2,f(a2)) 处的切线交 x 轴于点 (a3,0),依此类推,曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))nN)处的切线交 x 轴于点 (an+1,0),其中数列 {an} 称为函数 y=f(x) 关于 a1 的切线数列.

1、若 f(x)=sinx{an} 是函数 y=f(x) 关于 a1=π3 的切线数列,求 a2 的值;

2、若 f(x)=12x2+12{an} 是函数 y=f(x) 关于 a1=53 的切线数列,记 bn=log2an1an+1,求数列 {bn} 的通项公式;

3、若 f(x)=xx2mm>0),是否存在 a1a10),使得函数 y=f(x) 关于 a1 的切线数列 {an} 为周期数列?若存在,求出所有满足条件的 a1;若不存在,请说明理由.

解析

1、根据题意,有f(x)=sinx,f(x)=cosx,

于是曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))nN)处的切线方程为y=cosan(xan)+sinan,
因此an+1=antanan,
于是 a2=π33

2、根据题意,有f(x)=12x2+12,f(x)=x,

于是曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))nN)处的切线方程为y=an(xan)+(12a2n+12),
因此an+1=a2n+12an,
进而bn+1=log2an+11an+1+1=log2a2n+12an1a2n+12an+1=log2(an1an+1)2=2log2an1an+1=2bn,
a1=53 可得 b1=2,于是 bn=2nnN).

3、根据题意,有f(x)=xx2m,f(x)=x2m(x2m)2,

于是曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))nN)处的切线方程为y=a2nm(a2nm)2(xan)+ana2nm,
因此an+1=2a3na2n+m,
其中 a2nm0. 设迭代函数 g(x)=2x3x2+m,则对应的不动点方程g(x)=xx=0,±m,
讨论如下.

初值 a1(,m)(m,0)(0,m)(m,+)数列性态a1↘a1↗0a1↘0a1↗+

因此无论 a1 取何值,数列 {an} 均为单调数列,不可能为周期数列,所以不存在满足条件的 a1

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