2024年10月九省联考高三数学质量检测 #19
已知曲线 y=f(x) 在点 (a1,f(a1)) 处的切线交 x 轴于点 (a2,0),曲线 y=f(x) 在点 (a2,f(a2)) 处的切线交 x 轴于点 (a3,0),依此类推,曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))(n∈N∗)处的切线交 x 轴于点 (an+1,0),其中数列 {an} 称为函数 y=f(x) 关于 a1 的切线数列.
1、若 f(x)=sinx,{an} 是函数 y=f(x) 关于 a1=π3 的切线数列,求 a2 的值;
2、若 f(x)=−12x2+12,{an} 是函数 y=f(x) 关于 a1=−53 的切线数列,记 bn=log2an−1an+1,求数列 {bn} 的通项公式;
3、若 f(x)=xx2−m(m>0),是否存在 a1(a1≠0),使得函数 y=f(x) 关于 a1 的切线数列 {an} 为周期数列?若存在,求出所有满足条件的 a1;若不存在,请说明理由.
解析
1、根据题意,有f(x)=sinx,f′(x)=cosx,
于是曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))(n∈N∗)处的切线方程为y=cosan⋅(x−an)+sinan,
因此an+1=an−tanan,
于是 a2=π3−√3.
2、根据题意,有f(x)=−12x2+12,f′(x)=−x,
于是曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))(n∈N∗)处的切线方程为y=−an⋅(x−an)+(−12a2n+12),
因此an+1=a2n+12an,
进而bn+1=log2an+1−1an+1+1=log2a2n+12an−1a2n+12an+1=log2(an−1an+1)2=2log2an−1an+1=2bn,
而 a1=−53 可得 b1=2,于是 bn=2n(n∈N∗).
3、根据题意,有f(x)=xx2−m,f′(x)=−x2−m(x2−m)2,
于是曲线 y=f(x) 在点 (an,f(an))(n∈N∗)处的切线方程为y=−a2n−m(a2n−m)2⋅(x−an)+ana2n−m,
因此an+1=2a3na2n+m,
其中 a2n−m≠0. 设迭代函数 g(x)=2x3x2+m,则对应的不动点方程g(x)=x⟺x=0,±√m,
讨论如下.
初值 a1(−∞,−√m)(−√m,0)(0,√m)(√m,+∞)数列性态a1−∞a1
0a1
0a1
+∞
因此无论 a1 取何值,数列 {an} 均为单调数列,不可能为周期数列,所以不存在满足条件的 a1.