2024年10月九省联考高三数学质量检测 #19
已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f\left(a_1\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_2,0\right)$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f\left(a_2\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_3,0\right)$，依此类推，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_{n+1},0\right)$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 称为函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列．
1、若 $f(x)=\sin x$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=\dfrac{\pi}3$ 的切线数列，求 $a_2$ 的值；
2、若 $f(x)=-\dfrac 1 2 x^2+\dfrac 1 2$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=-\dfrac 5 3$ 的切线数列，记 $b_n=\log_2\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
3、若 $f(x)=\dfrac x{x^2-m}$（$m>0$），是否存在 $a_1$（$a_1\neq 0$），使得函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列 $\left\{a_n\right\}$ 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的 $a_1$；若不存在，请说明理由．
解析
1、根据题意，有\[f(x)=\sin x,\quad f'(x)=\cos x,\]于是曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线方程为\[y=\cos a_n\cdot \left(x-a_n\right)+\sin a_n,\]因此\[a_{n+1}=a_n-\tan a_n,\]于是 $a_2=\dfrac{\pi}3-\sqrt 3$．
2、根据题意，有\[f(x)=-\dfrac 12x^2+\dfrac 12,\quad f'(x)=-x,\]于是曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线方程为\[y=-a_n\cdot (x-a_n)+\left(-\dfrac 12a_n^2+\dfrac 12\right),\]因此\[a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+1}{2a_n},\]进而\[b_{n+1}=\log_2\dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=\log_2\dfrac{\dfrac{a_n^2+1}{2 a_n}-1}{\dfrac{a_n^2+1}{2 a_n}+1}=\log_2\left(\dfrac{a_n-1}{a_n+1}\right)^2=2\log_2\dfrac{a_n-1}{a_n+1}=2 b_n,\]而 $a_1=-\dfrac 53$ 可得 $b_1=2$，于是 $b_n=2^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
3、根据题意，有\[f(x)=\dfrac x{x^2-m},\quad f'(x)=\dfrac{-x^2-m}{(x^2-m)^2},\]于是曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线方程为\[y=\dfrac{-a_n^2-m}{(a_n^2-m)^2}\cdot (x-a_n)+\dfrac{a_n}{a_n^2-m},\]因此\[a_{n+1}=\dfrac{2a_n^3}{a_n^2+m},\]其中 $a_n^2-m\ne 0$． 设迭代函数 $g(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+m}$，则对应的不动点方程\[g(x)=x\iff x=0,\pm \sqrt m,\]讨论如下．
\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{初值}~a_1&\left(-\infty,-\sqrt m\right)&\left(-\sqrt m,0\right)&\left(0,\sqrt m\right)&\left(\sqrt m,+\infty\right)\\ \hline \text{数列性态}&a_1\searrow -\infty&a_1\nearrow 0&a_1\searrow 0&a_1\nearrow +\infty\\ \hline\end{array}\]因此无论 $a_1$ 取何值，数列 $\{a_n\}$ 均为单调数列，不可能为周期数列，所以不存在满足条件的 $a_1$．