2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #18
已知过 $A(-1,0)$，$B(1,0)$ 两点的动抛物线的准线始终与圆 $x^2+y^2=9$ 相切，该抛物线焦点 $P$ 的轨迹是某圆锥曲线 $E$ 的一部分．
1、求曲线 $E$ 的标准方程；
2、已知点 $C(-3,0)$，$D(2,0)$，过点 $D$ 的动直线与曲线 $E$ 交于 $M,N$ 两点，设 $\triangle CMN$ 的外心为 $Q$，$O$ 为坐标原点，问：直线 $OQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
解析
1、由于抛物线的准线始终与圆 $x^2+y^2=9$ 相切，设切点坐标为 $(3\cos\theta,3\sin\theta)$，准线方程为\[x\cos\theta+y\sin\theta=3,\]设焦点 $P(x_0,y_0)$，则\[\begin{cases} \sqrt{(x_0+1)^2+y_0^2}=|(-1)\cdot \cos\theta+0\cdot \sin\theta-3|=3+\cos\theta,\\ \sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2}=|1\cdot \cos\theta+0\cdot \sin\theta-3|=3-\cos\theta,\end{cases}\]因此 $P$ 的轨迹是以 $A,B$ 为焦点，长轴长为 $6$ 的椭圆，曲线 $E$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}8=1$．
2、设直线 $MN$ 的方程为 $ x=m y+2$（$m\neq 0$），与椭圆 $E$ 的方程联立可得\[ \left(8 m^2+9\right) y^2+32 m y-40=0,\]设 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，则 $CM$ 的中点坐标为 $\left(\dfrac{x_1-3}2,\dfrac{y_1}2\right)$，直线 $CM$ 的法向量为 $(x_1+3,y_1)$，于是 $ CM$ 的垂直平分线方程为\[(x_1+3)\left(x-\dfrac{x_1-3}2\right)+y_1\left(y-\dfrac{y_1}2\right)=0,\]即\[(x_1+3)x+y_1y-\dfrac{x_1^2-9}2-\dfrac{y_1^2}2=0,\]也即\[(x_1+3)x+y_1y+\dfrac{y_1^2}{16}=0,\]也即\[\dfrac{x_1+3}{y_1^2}x+\dfrac{1}{y_1}y+\dfrac1{16}=0,\]类似的，$CN$ 的垂直平分线方程为\[\dfrac{x_2+3}{y_2^2}x+\dfrac{1}{y_2}y+\dfrac1{16}=0,\]联立可得直线 $OQ$ 的斜率为\[-\dfrac{\frac{x_1+3}{y_1^2}-\frac{x_2+3}{y_2^2}}{\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}}=-\dfrac{\frac{my_1+5}{y_1^2}-\frac{my_2+5}{y_2^2}}{\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}}=-\dfrac{(my_1y_2+5(y_1+y_2))(y_1-y_2)}{y_1y_2(y_1-y_2)}=-5m,\]因此所求斜率之积为定值 $-5$．