每日一题[3599]抛物线族

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #18

已知过 A(1,0)B(1,0) 两点的动抛物线的准线始终与圆 x2+y2=9 相切,该抛物线焦点 P 的轨迹是某圆锥曲线 E 的一部分.

1、求曲线 E 的标准方程;

2、已知点 C(3,0)D(2,0),过点 D 的动直线与曲线 E 交于 M,N 两点,设 CMN 的外心为 QO 为坐标原点,问:直线 OQ 与直线 MN 的斜率之积是否为定值,如果是定值,求出该定值;如果不是定值,说明理由.

解析

1、由于抛物线的准线始终与圆 x2+y2=9 相切,设切点坐标为 (3cosθ,3sinθ),准线方程为xcosθ+ysinθ=3,设焦点 P(x0,y0),则{(x0+1)2+y20=|(1)cosθ+0sinθ3|=3+cosθ,(x01)2+y20=|1cosθ+0sinθ3|=3cosθ,因此 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 6 的椭圆,曲线 E 的标准方程为 x29+y28=1

2、设直线 MN 的方程为 x=my+2m0),与椭圆 E 的方程联立可得(8m2+9)y2+32my40=0,M(x1,y1)N(x2,y2),则 CM 的中点坐标为 (x132,y12),直线 CM 的法向量为 (x1+3,y1),于是 CM 的垂直平分线方程为(x1+3)(xx132)+y1(yy12)=0,(x1+3)x+y1yx2192y212=0,也即(x1+3)x+y1y+y2116=0,也即x1+3y21x+1y1y+116=0,类似的,CN 的垂直平分线方程为x2+3y22x+1y2y+116=0,联立可得直线 OQ 的斜率为x1+3y21x2+3y221y11y2=my1+5y21my2+5y221y11y2=(my1y2+5(y1+y2))(y1y2)y1y2(y1y2)=5m,因此所求斜率之积为定值 5

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