2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #18
已知过 A(−1,0),B(1,0) 两点的动抛物线的准线始终与圆 x2+y2=9 相切,该抛物线焦点 P 的轨迹是某圆锥曲线 E 的一部分.
1、求曲线 E 的标准方程;
2、已知点 C(−3,0),D(2,0),过点 D 的动直线与曲线 E 交于 M,N 两点,设 △CMN 的外心为 Q,O 为坐标原点,问:直线 OQ 与直线 MN 的斜率之积是否为定值,如果是定值,求出该定值;如果不是定值,说明理由.
解析
1、由于抛物线的准线始终与圆 x2+y2=9 相切,设切点坐标为 (3cosθ,3sinθ),准线方程为xcosθ+ysinθ=3,设焦点 P(x0,y0),则{√(x0+1)2+y20=|(−1)⋅cosθ+0⋅sinθ−3|=3+cosθ,√(x0−1)2+y20=|1⋅cosθ+0⋅sinθ−3|=3−cosθ,因此 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 6 的椭圆,曲线 E 的标准方程为 x29+y28=1.
2、设直线 MN 的方程为 x=my+2(m≠0),与椭圆 E 的方程联立可得(8m2+9)y2+32my−40=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 CM 的中点坐标为 (x1−32,y12),直线 CM 的法向量为 (x1+3,y1),于是 CM 的垂直平分线方程为(x1+3)(x−x1−32)+y1(y−y12)=0,即(x1+3)x+y1y−x21−92−y212=0,也即(x1+3)x+y1y+y2116=0,也即x1+3y21x+1y1y+116=0,类似的,CN 的垂直平分线方程为x2+3y22x+1y2y+116=0,联立可得直线 OQ 的斜率为−x1+3y21−x2+3y221y1−1y2=−my1+5y21−my2+5y221y1−1y2=−(my1y2+5(y1+y2))(y1−y2)y1y2(y1−y2)=−5m,因此所求斜率之积为定值 −5.