2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #11
甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点 $C_1$ 出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径 $C_1\rightarrow B_1\rightarrow A_1\rightarrow A\rightarrow C$．若某"一笔画"路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径．下列说法正确的有（ ）
A．若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能 $6$ 次移动后回到点 $C_1$
B．经过 $4$ 次移动后仍在点 $C_1$ 的概率为 $\dfrac{19}{81}$
C．经过 $5$ 次移动后回到点 $C_1$ 有 $10$ 条完美路径
D．经过 $3$ 次移动后，到达点 $A_1$ 的条件下经过点 $C$ 的概率为 $\dfrac 1 3$
答案 BCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，甲可以沿\[C_1\rightarrow B_1\rightarrow A_1\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow C_1,\]经过 $6$ 次移动的完美路径回到点 $C_1$，选项错误．
对于选项 $\boxed{B}$，根据对称性，设经过 $n$ 次移动后，抵达位置 $C_1$ 的路径数为 $x_n$，抵达位置 $A_1,B_1$ 的路径数均为 $y_n$，抵达位置 $A,B$ 的路径数为 $z_n$，抵达位置 $C$ 的路径数为均 $w_n$，则 $(x_0,y_0,z_0,w_0)=(1,0,0,0)$，且\[\begin{cases} x_{n+1}=2y_n+w_n,\\ y_{n+1}=x_n+y_n+z_n,\\ z_{n+1}=y_n+z_n+w_n,\\ w_{n+1}=x_n+2z_n,\end{cases}\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline n&x_n&y_n&z_n&w_n\\ \hline 0&1&0&0&0\\ \hline 1&0&1&0&1\\ \hline 2&3&1&2&0\\ \hline 3&2&6&3&7\\ \hline 4&19&11&16&8\\ \hline \end{array}\]从而所求概率为 $\dfrac{19}{3^4}=\dfrac{19}{81}$，选项正确．
对于选项 $\boxed{C}$，若“一笔画”路径为完美路径，且 $5$ 次移动后回到点 $C_1$，则相当于去掉图中 $A,B,C,A_1,B_1$ 中的一个顶点以及与之相连的棱，此时 $6$ 个顶点中有 $4$ 个偶点，$2$ 个奇点，去掉连接 $2$ 个奇点的棱，就到了对应的符合题意的路径（每个图形对应两个不同方向的完美路径），选项正确．
对于选项 $\boxed{D}$，根据对选项 $\boxed{B}$ 的分析，经过 $3$ 次移动后达到 $A_1$ 的路径（记为事件 $M$）总数为 $6$，其中经过点 $C$ 的路径有 $2$ 条：\[C_1\to C\to A\to A_1,\quad C_1\to C\to C_1\to A_1,\]选项正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．