2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #11
甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点 C1 出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”,即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点,紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出,进而达到该棱的另一端点,按此规律一直进行,其中每经过一条棱称为一次移动,并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径,比如“一笔画”路径 C1→B1→A1→A→C.若某"一笔画"路径中没有重复经过任何一条棱,则称该路径为完美路径,否则为不完美路径.下列说法正确的有( )
A.若“一笔画”路径为完美路径,则甲不可能 6 次移动后回到点 C1
B.经过 4 次移动后仍在点 C1 的概率为 1981
C.经过 5 次移动后回到点 C1 有 10 条完美路径
D.经过 3 次移动后,到达点 A1 的条件下经过点 C 的概率为 13
答案 BCD.
解析 对于选项 A,甲可以沿C1→B1→A1→A→B→C→C1,经过 6 次移动的完美路径回到点 C1,选项错误.
对于选项 B,根据对称性,设经过 n 次移动后,抵达位置 C1 的路径数为 xn,抵达位置 A1,B1 的路径数均为 yn,抵达位置 A,B 的路径数为 zn,抵达位置 C 的路径数为均 wn,则 (x0,y0,z0,w0)=(1,0,0,0),且{xn+1=2yn+wn,yn+1=xn+yn+zn,zn+1=yn+zn+wn,wn+1=xn+2zn,于是nxnynznwn0100010101231203263741911168从而所求概率为 1934=1981,选项正确.
对于选项 C,若“一笔画”路径为完美路径,且 5 次移动后回到点 C1,则相当于去掉图中 A,B,C,A1,B1 中的一个顶点以及与之相连的棱,此时 6 个顶点中有 4 个偶点,2 个奇点,去掉连接 2 个奇点的棱,就到了对应的符合题意的路径(每个图形对应两个不同方向的完美路径),选项正确.
对于选项 D,根据对选项 B 的分析,经过 3 次移动后达到 A1 的路径(记为事件 M)总数为 6,其中经过点 C 的路径有 2 条:C1→C→A→A1,C1→C→C1→A1,选项正确.
综上所述,正确的选项为 B C D.