每日一题[3593]内切小球

2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #8

在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=CA=CB=2$，$\angle APB=\angle ACB=\dfrac{\pi}2$，$E,F,G$ 分别为 $PA,PB,PC$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥 $P-ABC$ 的四个面均相切，且小球同时还与平面 $EFG$ 相切，则 $PC=$ （       ）

A．$\sqrt 6+\sqrt 2$

B．$\sqrt 6-\sqrt 2$

C．$\sqrt{13}+1$

D．$\sqrt{13}-1$

答案    B．

解析    设与三棱锥 $P-ABC$ 的四个面均相切，且与平面 $EFG$ 相切的球球心为 $O$，半径为 $r$，则点 $P$ 到底面 $ABC$ 的距离为 $3r$，进而

$$\dfrac13\cdot [\triangle ABC]\cdot d(P,ABC)=\dfrac 13\left([\triangle ABC]+[\triangle PAB]+[\triangle PBC]+[\triangle PCA]\right)\cdot r,$$ 整理可得 $[\triangle PAC]=1$，进而 $\angle PAC=30^\circ$，因此 $PC=2\sin15^\circ\cdot AC=\sqrt 6-\sqrt 2$．