每日一题[3592]折线距离

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #19

在直角坐标平面 $x Oy$ 内，对于向量 $\boldsymbol{m}=(x, y)$，记 $\|\boldsymbol{m}\|=|x|+|y|$．设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 为直角坐标平面 $x Oy$ 内的向量，$\boldsymbol{a}=(1,1)$．

1、若 $\boldsymbol{b}=(-1,2)$，求 $\|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\|$；

2、设 $\boldsymbol{b}=(-1,-1)$，若 $\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\|=4$，求 $|\boldsymbol{c}|$ 的最大值；

3、若 $|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=2$，$\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}=2$，求证：$3-\sqrt{3} \leqslant \| \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\sqrt{3} \boldsymbol{a} \| \leqslant 2 \sqrt{6}+2 \sqrt{3}$．

解析

1、根据题意，有 $$\| \boldsymbol a-\boldsymbol b\|=\| (2,-1)\|=3.$$

2、设 $\boldsymbol c=(x,y)$，则由 $\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\|=4$ 可得 $$4=|x-1|+|y-1|+|x+1|+|y+1|\geqslant |(x-1)-(x+1)|+|(y-1)-(y+1)|=4,$$ 因此 $-1\leqslant x,y\leqslant 1$，进而 $$|\boldsymbol c|=\sqrt{x^2+y^2}\leqslant \sqrt 2,$$ 等号当 $|x|=|y|=1$ 时取得，因此 $|\boldsymbol c|$ 的最大值为 $\sqrt 2$．

3、根据题意，$\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 的夹角为 $60^\circ$，进而以原点为起点，向量 $\boldsymbol b+\boldsymbol c$ 对应终点的轨迹是以原点为圆心，$2\sqrt 3$ 为半径的圆，进而考虑当 $|\boldsymbol t|=2$ 时，$\| \boldsymbol t-\boldsymbol a\|$ 的取值范围．注意到当 $\boldsymbol m$ 对应的点 $M$ 满足方程 $\| \boldsymbol m-\boldsymbol a\|=\lambda$（$\lambda>0$）时，点 $M$ 的轨迹是以 $A$（$\boldsymbol a$ 的对应点）为中心，半对角线长为 $\lambda$，每条边的斜率绝对值均为 $1$ 的正方形，如图．

可得当 $\boldsymbol t=\left(\sqrt 3,1\right),\left(1,\sqrt 3\right)$ 时，$\|\boldsymbol t-\boldsymbol a\|$ 取得最小值 $\sqrt 3-1$；当 $\boldsymbol t=\left(-\sqrt 2,-\sqrt 2\right)$ 时，$\|\boldsymbol t-\boldsymbol a\|$ 取得最大值 $2\sqrt 2+2$，因此命题得证．