每日一题[3590]双重量词

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #14

已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$，$g(x)=\ln x-a x$，若对任意 $x_{1} \in(0,+\infty)$，都存在 $x_{2} \in(0,+\infty)$，使得 $f\left(x_{1}\right) g\left(x_{2}\right)=x_{1} x_{2}$，则实数 $a$ 的取值范围为_____．

答案    $(-\infty,0]$．

解析    根据题意，有

$$\forall x_1\in (0,+\infty),~\exists x_2\in (0,+\infty),~\dfrac{f(x_1)}{x_1}=\dfrac{x_2}{g(x_2)},$$ 也即 $$\left\{\dfrac{f(x_1)}{x_1}\mid x_1\in (0,+\infty)\right\}\subseteq \left\{\dfrac{x_2}{g(x_2)}\mid x_2\in (0,+\infty)\right\}.\tag{1}$$ 函数 $h(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x^2}\cdot (x-1),$$ 于是 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的取值范围是 $\left[\mathrm e-a,+\infty\right)$．函数 $r(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ 的导函数 $$r'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},$$ 于是 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{1}{\mathrm e}-a\right]$． 回到条件 $(1)$，显然 $\mathrm e-a>0$，$\dfrac1{\mathrm e}-a>0$，且 $$\left(\mathrm e -a\right)\cdot \left(\dfrac1{\mathrm e}-a\right)\geqslant 1,$$ 解得 $a\leqslant 0$，于是实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．