每日一题[3589]首尾相接

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知 $f(x)=\sin x$，记函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $I$ 上的最大值为 $M_{I}$．若正数 $k$ 满足 $M_{[0, k]}=2 M_{[k, 2 k]}$，则 $k=$_____．

答案    $\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}$．

解析    当 $0<k\leqslant \dfrac{\pi}4$ 时，有 $M_{[0,k]}=\sin k$，$M_{[k,2k]}=\sin (2k)$，于是 $$M_{[0,k]}=2 M_{[k,2 k]}\implies \sin k=2\sin(2k)\implies \cos k=\dfrac 14,$$ 但此时 $\cos k\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2$，不可能； 当 $\dfrac{\pi}4<k\leqslant \dfrac{\pi}2$ 时，有 $M_{[0,k]}=\sin k$，$M_{[k,2k]}=1$，于是 $$M_{[0, k]}=2 M_{[k, 2 k]}\implies \sin k=2,$$ 不可能； 当 $k>\dfrac{\pi}2$ 时，$M_{[0,k]}=1$，于是 $M_{[k,2k]}=\dfrac 12$，因此 $2k\leqslant \dfrac{13\pi}6$，$f(x)$ 在区间 $[k,2k]$ 上的最大值在区间端点处取得，因此 $k=\dfrac{5\pi}6$ 或 $2k=\dfrac{13\pi}{6}$，进而 $k=\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}$，经验证这两个值均符合题意． 综上所述，$k$ 的值为 $\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}$．