2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #19
兵乓球比赛常用 $2n-1$ 局 $n$ 胜的赛制，其中 $n$ 是不小于 $2$ 的正整数，具体是指率先获取 $n$ 局比赛胜利的一方获胜（这样总比赛局数最多为 $2n-1$ 局）．
1、甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用 $5$ 局 $3$ 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 $0.8$：若采用 $7$ 局 $4$ 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 $0.9$．已知甲、乙两人共进行了 $m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$）场比赛，请根据小概率值 $\alpha=0.010$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． 附：$\chi^2=\dfrac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中 $n=a+b+c+d$．\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline P\left(\chi^2\geqslant \chi_0\right) & 0.05 & 0.025 & 0.010\\\hline k_0 & 3.841 & 5.024 & 6.635\\\hline \end{array}\]
2、若甲、乙两人采用 $5$ 局 $3$ 胜制比寒，设甲每局比赛的胜率均为 $p$，没有平局．记
事件 $A$ 为：甲只要取得 $3$ 局比赛的胜利比赛结束且甲获胜；
事件 $B$ 为：两人赛满 $5$ 局，甲至少取得 $3$ 局比赛胜利且甲获胜，
试证明：$P(A)=P(B)$．
3、甲、乙两人进行乒乓球比寒，每局比赛甲的胜率都是 $p$（$p>0.5$），没有平局．若采用 $2n-1$ 局 $n$ 胜的赛制，甲获胜的概率为 $p(n)$，试比较 $ p(n)$ 和 $ p(n+1)$ 的大小．
1、据题中条件，列出赛制和甲获胜情况列联表如下：\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline & \text{甲获胜场数} & \text{乙获胜场数} & \text{合计}\\\hline 5~\text{局}~3 ~\text{胜}~ & 0.8 m & 0.2 m & m\\\hline 7~\text{局}~7 ~\text{胜}~ & 0.9 m & 0.1 m & m\\\hline 合计 & 1.7 m & 0.3 m & 2 m\\\hline \end{array}\]由计算公式得\[\chi^2=\dfrac{2 m\left(0.08 m^2-0.18 m^2\right)^2}{1.7 m\times 0.3 m\times m\times m}=\dfrac{2 m}{51},\]若 $\dfrac{2 m}{51}\geqslant 6.635$，即 $m\geqslant 169.1925$，故若 $m\geqslant 170$ 时，根据小概率值 $\alpha=0.010$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响，此推断犯错误的概率小于 $0.010$．若 $m<170$，根据小概率值 $\alpha=0.010$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，没有证据认为赛制对甲获胜的场数有影响，此时赛制对甲获胜的场数没有影响．
2、根据题意，有\[\begin{split} P(A)&=p^3+p\cdot \dbinom 32p^2(1-p)+p\cdot \dbinom 42p^2(1-p)^2,\\ P(B)&=\dbinom 53p^3(1-p)^2+\dbinom 54p^4(1-p)+\dbinom 55p^5,\end{split}\]计算可得\[P(A)=6p^5-15p^4+10p^3=P(B),\]命题得证．
3、考虑赛满 $2 n+1$ 局的情况，以赛完 $2 n-1$ 局为第一阶段，第二阶段为最后 $2$ 局．设 "赛满 $2 n+1$ 局甲获胜" 为事件 $C$，结合第一阶段的结果，要使事件 $C$ 发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为 $A_1$；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了 $n-1$ 局，记为 $A_2$，则\[C=A_1 C+A_2 C\implies P(C)=P\left(A_1 C\right)+P\left(A_2 C\right).\] 若第一阶段甲获胜，即赛满 $2 n-1$ 局甲至少胜 $n$ 局，有两类情况：甲至少胜 $n+1$ 局和甲恰好胜 $n$ 局． 第一类情况，无论第二阶段的 $2$ 局结果如何，最终甲获胜； 第二类情况，有可能甲不能获胜，这种情况是第二阶段的 $2$ 局比赛甲均失败，其概率为\[\dbinom{2 n-1}n p^n(1-p)^{n-1}(1-p)^2,\]于是\[P\left(A_1 C\right)=P(n)-\dbinom{2 n-1}n p^n(1-p)^{n-1}(1-p)^2.\] 若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了 $n-1$ 局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的 $2$ 局比赛甲必须全部取胜，可得：\[P\left(A_2 C\right)=P\left(A_2\right) P\left(C\mid A_2\right)=\dbinom{2 n-1}{n-1}p^{n-1}(1-p)^n p^2,\]所以\[P(n+1)=P(C)=P(n)-\dbinom{2 n-1}n p^n(1-p)^{n-1}(1-p)^2+\dbinom{2 n-1}{n-1}p^{n-1}(1-p)^n p^2,\]因此\[\begin{split} P(n+1)-P(n)&=\dbinom{2 n-1}{n-1}p^{n-1}(1-p)^n p^2-\dbinom{2 n-1}n p^n(1-p)^{n-1}(1-p)^2\\ &=\dbinom{ 2n-1}n p^{n+ 1 }( 1 -p)^n-\dbinom{ 2n-1 }n p^n(1-p)^{n+ 1 }\\ & =\dbinom{ 2 n -1 }n p^n( 1 -p)^n(p-( 1 -p))\\ & = 2 \dbinom{ 2 n -1 }n p^n( 1 -p)^n\left(p-\frac 1 2 \right)\\ &>0,\end{split}\]因此 $P(n+1)>P(n)$．