每日一题[3584]基本放缩

2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #14

已知 $f(x)=|\ln a-\ln x-2|+\left|\dfrac a x-1\right|$，则 $f(x)$ 的最小值为_____．

答案    $2$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} f(x)&=|\ln a-\ln x-2|+\left|\dfrac a x-1\right|\\ &=\left|\ln\dfrac ax-2\right|+\left|\dfrac ax-1\right|\\ &\geqslant \left|\left(\ln\dfrac ax-2\right)-\left(\dfrac ax-1\right)\right|\\ &=\left|\ln \dfrac ax-\dfrac ax -1\right|\\ &=1-\left(\ln \dfrac ax-\dfrac ax\right)\\ &\geqslant 2,\end{split}$$ 等号当 $\dfrac ax=1$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．