2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #17
已知椭圆 $E:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴长是 $4$，$D$ 为右顶点，$P, Q, M, N$ 是椭圆 $E$ 上异于顶点的任意四个点，当直线 $P Q$ 经过原点 $O$ 时，直线 $P D$ 和 $Q D$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{4}$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、当直线 $M D$ 和 $N D$ 的斜率之积为定值 $-2$ 时，直线 $MN$ 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解析
1、由椭圆 $E$ 的长轴长是 $4$ 可得 $a=2$，根据椭圆的斜率积定义，有直线 $P D$ 和 $Q D$ 的斜率之积\[k_{PD}\cdot k_{QD}=-\dfrac{b^2}{a^2}\iff -\dfrac14=-\dfrac{b^2}{a^2},\]从而 $b=1$，因此椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
2、平移坐标系，使得 $D$ 为坐标原点，则椭圆 $E$ 的方程变为\[\dfrac{(x'+2)^2}4+y'^2=1,~\text{即}~\dfrac{x'^2}4+y^2+x'=0,\]设此时 $MN$ 对应的直线 $M'N':mx'+ny'=1$，化齐次联立，可得\[\dfrac{x'^2}4+y^2+x'(mx'+ny')=0,\]辞职直线 $M'D'$ 和 $N'D'$ 斜率之积为 $m+\dfrac 14=-2$，因此 $m=-\dfrac 94$，因此直线 $M'N'$ 恒过点 $T'\left(-\dfrac 49,0\right)$，对应直线 $MN$ 恒过定点 $\left(\dfrac{14}9,0\right)$．