每日一题[3575]倒等差数列

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #11

已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+2}\left(a_{n+1}-a_n\right)=a_n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），记 $T_n=a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_n a_{n+1}$，$T_{12}=4$，则（        ）

A．$\left\{a_n\right\}$ 是递减数列

B．$a_{2024}=\dfrac 6{2029}$

C．存在 $n$ 使得 $T_n=\dfrac 4 3$

D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i>10$

答案    ABD．

解析    根据题意，有

$$\dfrac 1{a_{n+2}}+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac 2{a_{n+1}},$$ 于是 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 是等差数列，进而可得 $$a_n=\dfrac 1{1+d(n-1)},~n\in\mathbb N^{\ast},$$ 于是 $$T_n=\sum_{k=1}^na_ka_{k+1}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac 1d\left(\dfrac 1{1+d(k-1)}-\dfrac 1{1+dk}\right)\right)=\dfrac 1d\left(1-\dfrac1{1+dn}\right)=\dfrac n{1+dn},$$ 于是由 $T_{12}=4$，可得 $d=\dfrac 16$，进而 $T_n=\dfrac {6n}{n+6}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$a_n=\dfrac 6{n+5}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 因此选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 正确；

对于选项 $\boxed{C}$，$T_n=\dfrac 43$ 等价于 $n=\dfrac {12}7$，不符合题意，选项错误；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$\begin{split}\sum_{i=1}^{100}a_i&>a_1+(a_2+\cdots+a_7)+(a_8+\cdots+a_{19})+(a_{20}+\cdots+a_{43})\\ &>a_1+6a_7+12a_{20}+24a_{43}\\ &=1+\dfrac 12\cdot 6+\dfrac 14\cdot 12+\dfrac 18\cdot 24\\ &=10,\end{split}$$ 选项正确；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．

备注    一般的，有

$$\sum_{i=6\cdot 2^{k-1}-4}^{6\cdot 2^k-5}a_i>6\cdot 2^{k-1}\cdot a_{6\cdot 2^k-5}=3,$$ 于是若 $n\geqslant 6\cdot 2^m-5$，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^na_i>3m+1$，这样就有更强的结论 $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i>13$．