2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #8
正三棱台 ABC−A1B1C1 中,AB=2A1B1=2√3,AA1=2,点 D 为棱 AB 中点,直线 l 为平面 A1B1C1 内的一条动直线.记二面角 C−l−D 的平面角为 θ,则 cosθ 的最小值为( )
A.0
B.18
C.√714
D.17
答案 D.
解析 设 O 为底面 ABC 的中心,则PO2+OD2=PD2=PA2−AD2,解得 PO=2√3.设 ∠CND 是二面角 C−l−D 的平面角,N 在底面 ABC 上的投影为 M,则 M 在 CD 上,且MN=√3,CM=12CD=32,因此 tanθ2 的最大值为 √32,因此 cosθ 的最小值为 17.