每日一题[3574]投影位置

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #8

正三棱台 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2 A_1 B_1=2\sqrt 3$，$AA_1=2$，点 $D$ 为棱 $AB$ 中点，直线 $l$ 为平面 $A_1 B_1 C_1$ 内的一条动直线．记二面角 $C-l-D$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos\theta$ 的最小值为（       ）

A．$0$

B．$\dfrac 1 8$

C．$\dfrac{\sqrt 7}{14}$

D．$\dfrac 1 7$

答案    D．

解析    设 $O$ 为底面 $ABC$ 的中心，则

$$PO^2+OD^2=PD^2=PA^2-AD^2,$$ 解得 $PO=2\sqrt 3$．设 $\angle CND$ 是二面角 $C-l-D$ 的平面角，$N$ 在底面 $ABC$ 上的投影为 $M$，则 $M$ 在 $CD$ 上，且 $$MN=\sqrt 3,\quad CM=\dfrac 12CD=\dfrac 32,$$ 因此 $\tan\dfrac{\theta}2$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，因此 $\cos\theta$ 的最小值为 $\dfrac 17$．