每日一题[3572]相辅相成

2024年清华大学暑期工科营数学试题 #8

已知函数 $f(x)=a \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac x2+2 \cos ^2 \dfrac{x}{2}+1$，$x \in(0,2 \pi)$，$f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{10}+2$，且在 $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若 $y=2$ 与 $f(x)$ 相交于点 $A$，过 $A$ 点的直线与 $f(x)$ 交于两点，横坐标为 $x_1, x_2$，求 $\sin \left(x_1+x_2\right)$；

（3）若 $f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)=2$，求 $\cos \left(x_1-x_2\right)$．

解析

（1）根据题意，有

$$f(x)=\dfrac 12a\sin x+\cos x+2,$$ 其最大值为 $\sqrt{\dfrac 14a^2+1}=\sqrt{10}$，解得 $a=\pm 6$．再由该函数在 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上单调递增，可得 $a=6$．

（2）根据题意，有 $f(x)=\sqrt{10}\sin\left(x+\arctan\dfrac 13\right)+2$，于是 $A$ 是函数 $f(x)$ 的对称中心，因此

$$x_1+x_2=2x_0\implies \sin(x_1+x_2)=\sin(2x_0)=2\sin x_0\cos x_0=0.$$

（3）设 $x_1=x_0+t$，$x_2=x_0-t$，则 $\sin x_0=0$，且

$$\left(\sqrt{10}\sin(x_0+t)+2\right)\cdot \left(\sqrt{10}\sin(x_0-t)+2\right)=2,$$ 即 $$10\sin(x_0+t)\sin(x_0-t)+4\sqrt{10}\sin x_0\cos t+4=2,$$ 也即 $$10\left(\sin^2x_0-\sin^2t\right)+2=0\iff \sin^2t=\dfrac 15,$$ 因此 $$\cos(x_1-x_2)=\cos 2t=1-2\sin^2t=\dfrac 35.$$