每日一题[3570]消元

2024年清华大学暑期工科营数学试题 #3

已知 $a,b\in \mathbb R$ 且 $a^2+b^2\ne 0$，$M=\min \left\{a, \dfrac{b}{a^2+b^2}\right\}$，则 $M$ 的最大值为_____．

答案    $\dfrac{\sqrt 2}2$．

解析    只需考虑 $a,b>0$ 的情形，有 $$\begin{split} M&=\min \left\{a, \dfrac{b}{a^2+b^2}\right\}\\ &\leqslant \min \left\{a,\dfrac{b}{2ab}\right\}\\ &=\min \left\{a,\dfrac{1}{2a}\right\}\\ &\leqslant \sqrt{a\cdot \dfrac1{2a}}\\ &=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{split}$$ 等号当 $a=b=\dfrac{\sqrt 2}2$ 时可以取得，因此 $M$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．