每日一题[3568]吓人的组合数

2024年清华大学暑期文科营数学试题 #12

已知公差不为 0 的等差数列 {an} 满足 a1=2,且 a1,a3,a7 成等比数列.

(1)求数列 {an} 的通项公式;

(2)若数列 {bn} 满足 b1=1bnbn+1=an

① 求证:b2n=4nCn2n

② 是否存在 nN,使得 ni=11bi<2n+12

解析

(1)设数列 {an} 的公差为 d,则a23=a1a7(2+2d)2=2(2+6d)d=1,因此 an=n+1nN).

(2)① 根据题意,有bnbn+1=n+1bn=nbn1=nn1bn2 (n3),b0=b1=1,于是b2n=(2n)!!(2n1)!!=((2n)!!)2(2n)!=(2nn!)2(2n)!=4nCn2n,命题得证.

② 根据题意,有{bnbn+1=n+1,bn1bn=n,bn+1bn1=1bn,于是ni=11bi=ni=1(bi+1bi1)=bn+1+bnb0b12bnbn+12=2n+12,因此不存在符合题意的 n

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