2024年清华大学暑期文科营数学试题 #12
已知公差不为 0 的等差数列 {an} 满足 a1=2,且 a1,a3,a7 成等比数列.
(1)求数列 {an} 的通项公式;
(2)若数列 {bn} 满足 b1=1,bnbn+1=an,
① 求证:b2n=4nCn2n;
② 是否存在 n∈N∗,使得 n∑i=11bi<2√n+1−2.
解析
(1)设数列 {an} 的公差为 d,则a23=a1a7⟹(2+2d)2=2(2+6d)⟺d=1,因此 an=n+1(n∈N∗).
(2)① 根据题意,有bnbn+1=n+1⟹bn=nbn−1=nn−1⋅bn−2 (n⩾3),而 b0=b1=1,于是b2n=(2n)!!(2n−1)!!=((2n)!!)2(2n)!=(2n⋅n!)2(2n)!=4nCn2n,命题得证.
② 根据题意,有{bnbn+1=n+1,bn−1bn=n,⟹bn+1−bn−1=1bn,于是n∑i=11bi=n∑i=1(bi+1−bi−1)=bn+1+bn−b0−b1⩾2√bnbn+1−2=2√n+1−2,因此不存在符合题意的 n.