每日一题[3568]吓人的组合数

2024年清华大学暑期文科营数学试题 #12

已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，且 $a_1, a_3, a_7$ 成等比数列．

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1$，$b_n b_{n+1}=a_n$，

① 求证：$b_{2 n}=\dfrac{4^n}{\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 n}^n}$；

② 是否存在 $n \in \mathbb N^{\ast}$，使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{b_i}<2 \sqrt{n+1}-2$．

解析

（1）设数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则

$$a_3^2=a_1a_7\implies (2+2d)^2=2(2+6d)\iff d=1,$$ 因此 $a_n=n+1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

（2）① 根据题意，有

$$b_nb_{n+1}=n+1\implies b_n=\dfrac n{b_{n-1}}=\dfrac n{n-1}\cdot b_{n-2}~(n\geqslant 3),$$ 而 $b_0=b_1=1$，于是 $$b_{2n}=\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\dfrac{\big((2n)!!\big)^2}{(2n)!}=\dfrac{\big(2^n\cdot n!\big)^2}{(2n)!}=\dfrac{4^n}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n},$$ 命题得证．

② 根据题意，有

$$\begin{cases} b_nb_{n+1}=n+1,\\ b_{n-1}b_n=n,\end{cases}\implies b_{n+1}-b_{n-1}=\dfrac{1}{b_n},$$ 于是 $$\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{b_i}=\sum_{i=1}^n(b_{i+1}-b_{i-1})=b_{n+1}+b_{n}-b_0-b_1\geqslant 2\sqrt{b_nb_{n+1}}-2=2\sqrt{n+1}-2,$$ 因此不存在符合题意的 $n$．