每日一题[3565]类周期函数

2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #19

若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x-T)+ f(x+T)=Tf(x)$，则称 $f(x)$ 是类周期为 $T$ 的类周期函数．

（1）若函数 $f(x)$ 是类周期为 $1$ 的类周期函数，证明：$f(x)$ 是周期函数；

（2）已知 $f(x)=2 x-\sin\omega x$（$\omega>0$）是类周期函数，求 $\omega$ 的值及 $f(x)$ 的类周期；

（3）若奇函数 $f(x)$ 是类周期为 $T$（$T>0$）的类周期函数，且 $\dfrac{f(3 T)}{f(T)}=1$，求 $T$ 的值，并给出符合条件的一个 $f(x)$．

解析

（1）根据题意，有

$$f(x-1)+f(x+1)=f(x),$$ 于是 $$f(x+1)=f(x)-f(x-1)=\big(f(x-1)-f(x-2)\big)-f(x-1)=-f(x-2),$$ 进而 $$f(x+1)=-f(x-2)=-\big(-f(x-5)\big)=f(x-5),$$ 于是 $f(x)$ 是周期为 $6$ 的函数，命题得证．

（2）根据题意，存在非零常数 $T$，使得

$$2(x-T)-\sin\big(\omega(x-T)\big)+2(x+T)-\sin\big(\omega(x+T)\big)=T\big(2x-\sin(\omega x)\big),$$ 整理可得 $$\sin(\omega x)\cdot \big(2\cos(\omega T)-T\big)+2(T-2)x=0,$$

若 $T=2$，则 $\cos(2\omega)=1$，从而 $\omega =k\pi$（$k\in\mathbb Z$），符合题意；

若 $T\ne 2$，则 $2\cos(\omega T)-T,T-2$ 均为非零常数，不符合题意．

综上所述，$\omega =k\pi$（$k\in\mathbb Z$）且 $f(x)$ 的类周期 $T=2$．

（3）根据题意，有 $f(x-T)+f(x+T)=Tf(x)$，且由 $f(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的奇函数可得 $f(0)=0$，由 $\dfrac{f(3T)}{f(T)}=1$ 可得 $f(3T)=f(T)$ 且 $f(T)\ne 0$，分别令 $x=T,2T$，可得

$$\begin{cases} f(0)+f(2T)=Tf(T),\\ f(T)+f(3T)=Tf(2T),\end{cases}$$ 将 $f(0)=0$，$f(3T)=f(T)$ 代入，可得 $$\begin{cases} f(2T)=Tf(T),\\ 2f(T)=Tf(2T),\end{cases}\implies (T^2-2)f(T)=0\implies T=\sqrt 2,$$ 此时 $$f\left(x-\sqrt 2\right)+f\left(x+\sqrt 2\right)=\sqrt 2f(x),$$ 联想到 $$\sin\left(x-\dfrac{\pi}4\right)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt 2\sin x,$$ 可以给出符合条件的一个 $f(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4\sqrt 2}x\right)$．