每日一题[3564]体积转化

2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #18

已知正四棱柱 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $ABCD$ 为边长为 $3$ 的正方形，$AA_1=6$，点 $E,F,G$ 分别在线段 $A_1 D_1,AA_1,B_1 C_1$ 上，且 $A_1 F=2 A_1 E=2$，$C_1 G=\dfrac 3 2$，点 $H$ 在线段 $BB_1$ 上且 $EF\parallel GH$．

（1）求锐二面角 $A_1-FH-E$ 的余弦值；

（2）求平面 $EFHG$ 将四棱柱分割成两个多面体的体积比．

解析

（1）建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$，则

$$\begin{cases} A_1(3,0,6),\\ F(3,0,4),\\ H(3,3,3),\\ E(2,0,6),\end{cases} \implies \begin{cases} \overrightarrow{A_1F}=(0,0,-2),\\ \overrightarrow{FH}=(0,3,-1),\\ \overrightarrow{HE}=(-1,-3,3),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow n_{A_1FH}=(1,0,0),\\ \overrightarrow n_{FHE}=(6,1,3),\end{cases}$$ 从而锐二面角 $A_1-FH-E$ 的余弦值为 $$\dfrac{\overrightarrow n_{A_1FH}\cdot \overrightarrow n_{FHE}}{\left|\overrightarrow n_{A_1FH}\right|\cdot \left|\overrightarrow n_{FHE}\right|}=\dfrac{3\sqrt{46}}{23}.$$

（2）根据题意，$A_1EF-B_1GH$ 为三棱台，设锥顶为 $P$，则三棱锥 $P-A_1EF$ 与 $P-B_1GH$ 的相似比为 $2:3$，进而

$$\begin{split} [A_1EF-B_1GH]&=\dfrac{3^3-2^3}{3^3}\cdot [P-B_1GH]\\ &=\dfrac{19}{27}\cdot \dfrac 13\cdot \left(3|AB|\right)\cdot \left(\dfrac 12[BCC_1B_1]\right)\\ &=\dfrac{19}{216}[ABCD-A_1B_1C_1D_1],\end{split}$$ 因此平面 $EFHG$ 将四棱柱分割成两个多面体的体积比为 $\dfrac{19}{197}$．