每日一题[3580]奇偶相生

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #19

对于一个四元整数集 $A=\{a,b,c,d\}$，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a,b\}$ 和 $\{c,d\}$，满足 $a b-c d=1$，则称这个四元整数集为有趣的．

（1）写出集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的一个有趣的四元子集；

（2）证明：集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 不能划分成两个不相交的有趣的四元子集；

（3）证明：对任意正整数 $n$（$n\geqslant 2$），集合 $\{1,2,3,\cdots,4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的有趣的四元子集．

解析

（1）$\{1,2,3,5\}$，$\{3,4,5,7\}$，$\{2,3,5,8\}$（符合要求即可）

（2）即第 $(3)$ 小题中 $n=2$ 的情形．

（3）用反证法，若集合 $\{1,2,3,\cdots,4 n\}$ 可以划分成 $n$ 个两两不相交的有趣的四元子集，它们分别为 $$\{a_i,b_i,c_i,d_i\},~i=1,2,\cdots,n,$$ 其中 $a_ib_i-c_id_i=\pm 1$，不妨设 $a_ib_i$ 为偶数，$c_id_i$ 为奇数，则 $c_i,d_i$ 均为奇数．注意到集合 $\{1,2,3,\cdots,4n\}$ 中共有 $2n$ 个奇数和 $2n$ 个偶数，因此 $$\bigcup_{i=1}^n\{c_i,d_i\}=\{1,3,5,\cdots,4n-1\},\quad \bigcup_{i=1}^n\{a_i,b_i\}=\{2,4,6,\cdots,4n\},$$ 这样就有 $$\begin{split} 2\cdot 4\cdot 6\cdots 4n&=\prod_{i=1}^n(a_ib_i)\\ &\leqslant \prod_{i=1}^n(c_id_i+1)\\ &=\prod_{i=1}^n\big((c_i+1)(d_i+1)-(c_i+d_i)\big)\\ &<\prod_{i=1}^n\big((c_i+1)(d_i+1)\big)\\ &=2\cdot 4\cdot 6\cdots 4n,\end{split}$$ 矛盾，因此命题得证．