每日一题[3558]隔离

2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #14

已知定义域均为 $D$ 的函数 $f(x),g(x)$，若 $\forall x\in D,f(x)\geqslant a x+b\geqslant g(x)$，则称直线 $y=a x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线．若 $f(x)=x^2+x-x\ln x-3$（$x\geqslant 1$），$g(x)=-x^2+4 x-4$（$x\geqslant 1$）则曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线的方程为_____．

答案    $y=2x-3$．

设 $h(x)=f(x)-g(x)$，则

$$h(x)=2x^2-3x-x\ln x+1\geqslant 2x^2-3x-x(x-1)+1=(x-1)^2\geqslant 0,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，因此曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $y=g(x)$ 有公共点 $(1,-1)$，且在该点处相切，切线方程为 $y=2x-3$．考虑到当 $x\geqslant 1$ 时，有 $$f'(x)=2x-\ln x\geqslant 2,\quad g'(x)=-2x+4\leqslant 2,$$ 因此曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线的方程为 $y=2x-3$．