每日一题[3557]韦达定理

2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #8

若函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 1 2 x^2+a x$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\leqslant-9$，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$(-\infty,-4]$

B．$[4,+\infty)$

C．$\left(-\infty,-4\sqrt 2\right]$

D．$\left[2\sqrt 2,+\infty\right)$

答案    A．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x^2+ax+1}{x},$$ 因此关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+1=0$ 有两个不等正根 $x_1,x_2$，即 $$\begin{cases} \Delta=a^2-4>0,\\ x_1+x_2=-a>0,\\ x_1x_2=1>0,\end{cases}\iff a<-2,\tag{1}$$ 此时 $$\begin{split} f(x_1)+f(x_2)&=\left(\ln x_1+\dfrac 12x_1^2+ax_1\right)+\left(\ln x_2+\dfrac 12x_2^2+ax_2\right)\\ &=\ln (x_1x_2)+\dfrac 12(x_1+x_2)^2-x_1x_2+a(x_1+x_2)\\ &=-\dfrac 12a^2-1,\end{split}$$ 因此 $$f(x_1)+f(x_2)\leqslant -9\iff -\dfrac 12a^2-1\leqslant -9,\tag{2},$$ 综合 $(1)$ $(2)$ 解得实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-4]$．