每日一题[3556]举高高

2024年浙江杭州高三一模数学试题 #19

已知正项有穷数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_N$（$N\geqslant 3$），设 $T=\left\{x\mid x=\dfrac{a_j}{a_i},1\leqslant i<j\leqslant N\right\}$，记 $T$ 的元素个数为 $P(T)$．

（1）若数列 $A: 1,2,4,16$，求集合 $T$，并写出 $P(T)$ 的值；

（2）若 $A$ 是递增数列或递减数列，求证：" $P(T)=N-1$ " 的充要条件是 " $A$ 为等比数列"；

（3）若 $N=2 n+1$，数列 $A$ 由 $2,4,8,\cdots,2^n,4^n$ 这 $n+1$ 个数组成，且这 $n+1$ 个数在数列 $A$ 中每个至少出现一次，求 $P(T)$ 的取值个数．

解析

（1）根据题意，有

$$T=\bigcup_{1\leqslant i<N}\left\{x\mid x=\dfrac{a_j}{a_i},i<j\leqslant N\right\}=\{2,4,16\}\cup\{2,8\}\cup\{4\}=\{2,4,8,16\},$$ 进而 $P(T)=4$．

（2）充分性    当 $A$ 为等比数列时，有

$$T=\bigcup_{1\leqslant i<N}\left\{x\mid x=\dfrac{a_j}{a_i},i<j\leqslant N\right\}=\bigcup_{1\leqslant i<N}\left\{q,q^2,\cdots,q^{N-i}\right\},$$ 于是 $P(T)=N-1$．

必要性    根据集合 $T$ 的定义，有

$$\left\{x\mid x=\dfrac{a_j}{a_1},1<j\leqslant N\right\}\subseteq T\implies \left\{\dfrac{a_2}{a_1},\dfrac{a_3}{a_1},\cdots,\dfrac{a_N}{a_1}\right\}\subseteq T\implies \left\{\dfrac{a_2}{a_1},\dfrac{a_3}{a_1},\cdots,\dfrac{a_N}{a_1}\right\}=T,$$ 进而有 $$\left\{\dfrac{a_3}{a_2},\dfrac{a_4}{a_2},\cdots,\dfrac{a_N}{a_2}\right\}\subseteq \left\{\dfrac{a_2}{a_1},\dfrac{a_3}{a_1},\cdots,\dfrac{a_N}{a_1}\right\}\implies \left\{\dfrac{a_3}{a_2},\dfrac{a_4}{a_2},\cdots,\dfrac{a_N}{a_2}\right\}=\left\{\dfrac{a_2}{a_1},\dfrac{a_3}{a_1},\cdots,\dfrac{a_{N-1}}{a_1}\right\},$$ 因此这两个集合中的元素从小到大依次对应相等，于是 $$\dfrac{a_{n+1}}{a_2}=\dfrac{a_{n}}{a_1}\iff \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{a_2}{a_1},$$ 其中 $n=2,3,\cdots,N-1$，因此 $A$ 为等比数列．

综上所述，命题得证．

（3）根据题意，可得

$$T\subseteq \left\{ 2^k \mid k=0,\pm 1,\cdots,\pm n,\cdots,\pm (2n-1),\right\},$$ 因此 $P(T)\leqslant 4 n-1$，因为 $2,4,8,\cdots,2^n,4^n$ 这 $n+1$ 个数在数列 $A$ 中均至少出现 $1$ 次，此，又 $2,4,8,\cdots,2^n,4^n$ 这 $n+1$ 个数共出现 $2 n+1$ 次，所以数列 $A$ 中存在相等的两项，设为 $a_i=a_j=2^t$（$i<j$），则 $$\left\{2^k\mid k=0,\pm (t-1),\cdots,\pm (t-n),\pm (t-2n)\right\},$$ 因此 $P(T)\geqslant 2n$，接下来证明 $P(T)$ 可以取到从 $2 n$ 到 $4 n-1$ 的所有 $2 n$ 个整数值，从而证明 $P(T)$ 的取值个数为 $2 n$． 如图，以 $n=5$ 为例．

设数列 $A_0:2^1,2^2,\cdots,2^n,2^{2n},2^n,\cdots,2^2,2^1$，则

$$T=\left\{2^k\mid k=0,\pm1,\cdots,\pm n,\cdots,\pm (2n-1)\right\},$$ 此时 $P(T)=4n-1$． 现对数列 $A_0$ 分别作如下变换： 把前面的 $2^n$ 移动到 $2^{2 n}$ 和后面的 $2^n$ 之间，得到数列： $$2^1,2^2,\cdots,2^{n-1} ,2^{2 n},2^n,2^n,\cdots,2^1,$$ 此时 $$T=\left\{1,2^1,2^2,2^3,\cdots,2^{n-1},2^{n+1},\cdots,2^{2 n-1},2^{-1},2^{-2},\cdots,2^{-n},\cdots,2^{1-2 n}\right\},$$ 此时 $P(T)=4 n-2$． 再把前面的 $2^{n-1}$ 移动到后面的 $2^{n-1}$ 和 $2^n$ 之间，得到数列： $$2^1,2^2,\cdots,2^{n-2},2^{2 n},2^n,2^n,2^{n-1},2^{n-1},\cdots,2^1,$$ 此时 $$T=\left\{1,2^1,2^2,2^3,\cdots,2^{n-1},2^{n+2},\cdots,2^{2 n-1},2^{-1},2^{-2},\cdots,2^{-n},\cdots,2^{1-2 n}\right\},$$ 此时 $P(T)=4 n-3$． 依此类推，最后把前面的 $2^1$ 移到最后一项，得到数列 $$A_n: 2^{2 n},2^n,2^n,2^{n-1},2^{n-1},\cdots,2^1,2^1,$$ 此时 $$T\left\{1,2^{-1},2^{-2},\cdots,2^{-n},\cdots,2^{1-2 n}\right\},$$ 此时 $P(T)=2 n$．