每日一题[3545]反三角裂项

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#25

$\tan\left(\arctan 2+\arctan\dfrac 2{2^2}+\cdots+\arctan\dfrac 2{12^2}\right)=$ （       ）

A．$\dfrac{18}{13}$

B．$-\dfrac{18}{13}$

C．$\dfrac{13}{18}$

D．$-\dfrac{13}{18}$

答案    B．

解析    设原式为 $m$, 则\[\begin{split} m&=\tan\sum_{k=1}^{12}\arctan\dfrac{2}{k^2}\\ &=\tan\sum_{k=1}^{12}\dfrac{(k+1)-(k-1)}{1+(k+1)(k-1)}\\ &=\tan\sum_{k=1}^{12}\big(\arctan(k+1)-\arctan(k-1)\big)\\ &=\tan(\arctan 13+\arctan 12-\arctan 1-\arctan 0)\\ &=\dfrac{\tan(\arctan 13+\arctan 12)-1}{1+\tan(\arctan 13+\arctan 12)},\end{split}\tag{1}\]而\[\tan(\arctan 13+\arctan 12)=\dfrac{13+12}{1-13\cdot 12}=-\dfrac{5}{31},\tag{2}\]将 $(2)$ 代入 $(1)$, 可得 $m=-\dfrac{18}{13}$.