每日一题[3544]边角互化

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#24

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ}$，$\angle BAP=\angle CAP$，$P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $Q$，且 $\dfrac 1{|BP|}+\dfrac 1{|CP|}=\dfrac 1{|PQ|}$，则 $\angle BPC=$ （       ）

A．$110^{\circ}$

B．$120^{\circ}$

C．$130^{\circ}$

D．$140^{\circ}$

答案    B．

解析    如图．

\根据题意，有

$$\dfrac 1{|BP|}+\dfrac 1{|CP|}=\dfrac 1{|PQ|}\iff \dfrac{|PQ|}{|PB|}+\dfrac{|PQ|}{|PC|}=1,$$ 结合正弦定理可得 $$\dfrac{\sin\angle ABQ}{\sin\angle AQB}+\dfrac{\sin\angle PCQ}{\sin\angle PQC}=1\iff \sin\angle ABQ+\sin\angle PCQ=\sin\left(\angle ABQ+60^\circ\right),$$ 移项、和差化积整理得 $$\sin\angle PCQ=\sin\left(60^\circ-\angle ABQ\right),$$ 于是 $\angle PCQ=60^\circ-\angle ABQ$ 或 $\angle PCQ=120^\circ+\angle ABQ$（舍去），因此 $$\angle BPC=\angle ABQ+\angle PCQ+\angle BAC=120^\circ.$$

备注    取 $P$ 为正三角形 $ABC$ 的中心即得．