每日一题[3543]安定日

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#23

已知 $a_1=1$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lambda n^2-2 n}{n+1}$（$\lambda\geqslant 0$，$\lambda\in\mathbb R$），下列选项中正确的有（       ）

A．存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}<a_n$ 恒成立

B．存在 $\lambda$，使不存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}<a_n$ 恒成立

C．存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒成立

D．存在 $\lambda$，使不存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒咸立

答案    BCD．

解析  四个选项即讨论数列 $\{a_n\}$ 是否存在 $\lambda$，使得数列从某项起单调．

若 $\lambda=0$，则 $\{a_n\}$ 的奇偶项正负交错，不可能单调，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确；

若 $\lambda>0$，有

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda n\cdot \dfrac{n}{n+1}-\dfrac{2n}{n+1}>\lambda n\cdot \dfrac 12-2,$$ 取 $N=\left[\dfrac 6{\lambda}\right]+1$，则当 $n\geqslant N$ 时，有 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1$，选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确．

综上所述，正确选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．