每日一题[3542]迭代函数

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#22

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{1}{3}$，$a_{n+1}=-\dfrac{1}{2 a_n-3}$，则（       ）

A．$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} a_n=\dfrac 12$

B．$\left\{\dfrac{a_n-1}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列

C．$S_n>\dfrac{n}{3}$

D．$S_n<\dfrac{n}{2}$

答案    ACD．

解析    迭代函数 $f(x)=-\dfrac{1}{2x-3}$ 对应的不动点为 $x=1,\dfrac 12$，于是递推公式可以变形为

$$\dfrac{a_{n+1}-\frac 12}{a_{n+1}-1}=\dfrac 12\cdot \dfrac{a_n-\frac 12}{a_n-1},\tag{1}$$ 设 $b_n=\dfrac{a_n-\frac 12}{a_n-1}$，则 $b_1=\dfrac 14$，进而 $b_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}$，于是 $$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} b_n=0\implies \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} a_n=\dfrac 12,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确．

对于选项 $\boxed{B}$，由于

$$\dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=\dfrac{-\dfrac{1}{2 a_n-3}-1}{-\dfrac{1}{2 a_n-3}+1}=-\dfrac{a_n-1}{a_n-2}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}\cdot \left(-\dfrac{a_n+1}{a_n-2}\right),$$ 而 $-\dfrac{a_n+1}{a_n-2}$ 不为常数，选项 $\boxed{B}$ 错误．

对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，容易得到 $\{a_n\}$ 单调递增且极限为 $\dfrac 12$，于是

$$\dfrac 13<a_n<\dfrac 12\implies \dfrac n3<S_n<\dfrac n2,$$ 选项均正确． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．