每日一题[3541]辗转相除

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#21

已知 $a,b \in \mathbb N^{\ast}$，$a+b \leqslant 2024$，且 $ab^2+b+7 \mid a^2b+a+b$，则数组 $(a,b)$ 的个数为（       ）

A．$16$

B．$17$

C．$18$

D．$19$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$ab^2+b+7\mid b(a^2b+a+b)\implies ab^2+b+7\mid a(ab^2+b+7)+b^2-7a\implies ab^2+b+7\mid b^2-7a,$$ 由于 $ab^2+b+7>b^2-7a$，于是 $b^2-7a\leqslant 0$．

情形一     $b^2-7a=0$．此时 $(a,b)=(7k^2,7k)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），而 $a+b\leqslant 2024$，于是

$$7k^2+7k\leqslant 2024\implies k=1,2,\cdots,16,$$ 此情形包含 $16$ 组 $(a,b)$．

情形二     $b^2-7a<0$．此时

$$7a-b^2\geqslant ab^2+b+7\implies (7-b^2)a-(b^2+b+7)\geqslant 0\implies 7-b^2>0,$$ 于是 $b=1,2$．

当 $b=1$ 时，条件变为 $a\leqslant 2023$，$a+8\mid a^2+a+1$，于是

$$\dfrac{a^2+a+1}{a+8}\in\mathbb N^{\ast}\iff a-7+\dfrac{57}{a+8}\in\mathbb N^{\ast},$$ 而 $57=3\cdot 19$，于是 $a=11,49$．

当 $b=2$ 时，条件变为 $a\leqslant 2024$，$4a+9\mid 2a^2+a+2$，于是

$$4a+9\mid 4a^2+2a+4\implies 4a+9\mid -7a+4\implies \dfrac{7a-4}{4a+9}\in\mathbb N^{\ast},$$ 而 $\dfrac{7a-4}{4a+9}<2$，于是 $\dfrac{7a-4}{4a+9}=1$，无整数解．

综上所述，所有的解 $(a,b)$ 共有 $18$ 组．