2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#20
已知双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），斜率为 $1$ 的直线与 $\Gamma$ 交于 $A B$ 两点，点 $C$ 在双曲线上且 $A C \perp B C$，$\triangle O A C$ 的重心为 $P$，$\triangle O B C$ 的重心为 $Q$，$\triangle A B C$ 的外心为 $R$，直线 $OP,OQ,OR$ 的斜率之积为 $-8$，则双曲线的离心率 $e=$ ( )
A．$\sqrt 2$
B．$\sqrt 3$
C．$2$
D．$\sqrt 5$
答案 B．
解析 将直线 $ST$ 的斜率记为 $k_{ST}$，根据双曲线的垂径定理，有\[k_{OR}\cdot k_{AB}=k_{OP}\cdot k_{AC}=k_{OQ}\cdot k_{BC}=\dfrac{b^2}{a^2},\]而 $k_{AB}=1$，$k_{AC}\cdot k_{BC}=-1$，从而 \[k_{OP}\cdot k_{OQ}\cdot k_{OR}=-\dfrac{b^6}{a^6},\]所以 $\dfrac{b^2}{a^2}=2$，进而 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt 3$．