每日一题[3540]垂径定理

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），斜率为 $1$ 的直线与 $\Gamma$ 交于 $A B$ 两点，点 $C$ 在双曲线上且 $A C \perp B C$，$\triangle O A C$ 的重心为 $P$，$\triangle O B C$ 的重心为 $Q$，$\triangle A B C$ 的外心为 $R$，直线 $OP,OQ,OR$ 的斜率之积为 $-8$，则双曲线的离心率 $e=$ (       )

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

答案    B．

解析    将直线 $ST$ 的斜率记为 $k_{ST}$，根据双曲线的垂径定理，有

$$k_{OR}\cdot k_{AB}=k_{OP}\cdot k_{AC}=k_{OQ}\cdot k_{BC}=\dfrac{b^2}{a^2},$$ 而 $k_{AB}=1$，$k_{AC}\cdot k_{BC}=-1$，从而 $$k_{OP}\cdot k_{OQ}\cdot k_{OR}=-\dfrac{b^6}{a^6},$$ 所以 $\dfrac{b^2}{a^2}=2$，进而 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt 3$．