每日一题[3536]有序枚举

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#16

已知正整数 $a, b, c$ 均不大于 $100$，$a>b>c$，且 $\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c$ 构成等差数列，则数组 $(a,b,c)$ 的组数为（       ）

A．$82$

B．$84$

C．$86$

D．$88$

答案    C．

解析    设 $\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c$ 通分后为

$$\dfrac mp,\dfrac {m+n}p,\dfrac{m+2n}p,$$ 其中 $(m,n)=1$，$m\mid p$，$m+n\mid p$，$m+2n\mid p$．考虑到 $$\begin{cases} (m,m+n)=(m,n)=1,\\ (m+n,m+2n)=(m+n,n)=(m,n)=1,\\ (m,m+2n)=(m,2n)=(m,2),\end{cases}$$ 于是 $${\rm lcm}\{m,m+n,m+2n\}=\begin{cases} m(m+n)(m+2n),&m~\text{为奇数},\\ \frac 12m(m+n)(m+2n),&m~\text{为偶数},\end{cases}$$ 且 $$p=k\cdot {\rm lcm}\{m,m+n,m+2n\},$$ 其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$，$\dfrac pm\leqslant 100$，从而 $$(a,b,c)=\begin{cases} k\big((m+n)(m+2n),m(m+2n),m(m+n)\big),m~ \text{为奇数},\\ k\big((m+n)(\frac m2+n),\frac m2(m+2n),\frac m2(m+n)\big),m~\text{为偶数},\end{cases}$$ 其中 $k$ 的不同取值个数为 $$\begin{cases} \left\lfloor \dfrac{100}{(m+n)(m+2n)}\right\rfloor,m~\text{为奇数},\\ \left\lfloor \dfrac{100}{(m+n)\left(\frac m2+n\right)}\right\rfloor,m~\text{为偶数}.\end{cases}$$ 讨论如下： $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline m&n~\text{的限制}&n&\text{最简首项}&\text{计数}&\text{合计}\\ \hline 1&(n+1)(2n+1)\leqslant 100&1,2,3,4,5,6&6,15,28,45,66,91&16,6,3,2,1,1&29\\ \hline 3&(n+3)(2n+3)\leqslant 100&1,2,4&20,35,77&5,2,1&8\\ \hline 5&(n+5)(2n+5)\leqslant 100&1,2,3&42,63,88&2,1,1&4\\ \hline 7&(n+7)(2n+7)\leqslant 100&1,2&72,99&1,1&2\\ \hline 2&(n+1)(n+2)\leqslant 100&1,3,5,7&6,20,42,72&16,5,2,1&24\\ \hline 4&(n+2)(n+4)\leqslant 100&1,3,5,7&15,35,53,99&6,2,1,1&10\\ \hline 6&(n+3)(n+6)\leqslant 100&1,5&28,88&3,1&4\\ \hline 8&(n+4)(n+8)\leqslant 100&1,3&45,77&2,1&3\\ \hline 10&(n+5)(n+10)\leqslant 100&1&66&1&1\\ \hline 12&(n+6)(n+12)\leqslant 100&1&91&1&1\\ \hline \end{array}$$ 因此所求总数为 $86$．