每日一题[3534]主动出击

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#14

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则（       ）

A．$\left[a_{100}\right]=20$

B．$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$

C．$\left[a_{9000}\right]=30$

D．$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

答案    BC．

解析    对递推式两边立方（扩大差距方便计算递增速度），可得 $$a_{n+1}^3=\left(a_n+\dfrac{1}{a_n^2}\right)^3=a_n^3+3+\dfrac{3}{a_n^3}+\dfrac{1}{a_n^6}\implies a_{n+1}^3-a_n^3=3+\dfrac{3}{a_n^3}+\dfrac{1}{a_n^6},$$ 适当后移放缩起点，$a_2=2$，于是当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$a_n^3\geqslant a_2^3+3(n-2)=3n+2,$$ 于是 $$\begin{split} a_{n+1}^3-a_n^3&\leqslant 3+\dfrac{3}{3n+2}+\dfrac{1}{(3n+2)^2}\\ & = 3+\dfrac 1{n+\frac 23}+\dfrac 1{9\left(n+\frac 16\right)\left(n+\frac 76\right)+\frac 94}\\ &<3+\ln\left(n+\frac 23\right)-\ln\left(n-\frac 13\right)+\dfrac 19\left(\dfrac{1}{n+\frac 16}-\dfrac1{n+\frac 76}\right),\end{split}$$ 于是 $$\begin{split} a_{n+1}^3&< 8+3(n-1)+\ln\dfrac{n+\frac 23}{2-\frac 13}+\dfrac 19\left(\dfrac1{n+\frac 16}-\dfrac{1}{2+\frac 76}\right)\\ &=3n+5+\ln\dfrac{3n+2}{5}+\dfrac 19\left(\dfrac{6}{6n+1}-\dfrac{6}{19}\right),\end{split}$$ 从而当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$3n+2<a_n^3<3n+2+\ln\dfrac{3n-1}5+\dfrac 19\left(\dfrac 6{6n-5}-\dfrac {6}{19}\right),$$ 因此当 $n=m^3$（$m\in\mathbb N^{\ast}$，$m\geqslant 2$）时，有 $$3m^3<2+a_{m^3}^3<3m^3+2+\ln\dfrac{3m^3-1}{5}+\dfrac19\left(\dfrac 6{6m^3-5}-\dfrac 6{19}\right)<3(m+1)^3,$$ 这样就得到了 $$\left[a_{m^3}\right]=m,\quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3},$$ 选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{A}$，考虑到 $$\left[a_{100}\right]\leqslant \left[a_{125}\right]=5<20,$$ 选项错误．

对于选项 $\boxed{D}$，考虑到 $$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}\cdot n^{-\frac 16}\right)=0,$$ 选项错误． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．