每日一题[3532]投影数量

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#12

已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$，点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}\right|=2$，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ （      ）

A．最小值为 $4-2 \sqrt{2}$

B．最大值为 $2+2 \sqrt{2}$

C．最小值为 $2-2 \sqrt{2}$

D．最大值为 $4+2 \sqrt{2}$

答案     BC．

解析    设 $AB$ 的中点为 $M$，则点 $P$ 在以 $M$ 为球心半径 $r=1$ 的球上运动，而 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}$ 为 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\overrightarrow{AD}$ 上投影数量 $x$ 的 $2\sqrt 2$ 倍．考虑 $\overrightarrow{AM}$ 在 $\overrightarrow{AD}$ 上的投影数量为

$$\left|\overrightarrow{AM}\right|\cdot \cos60^\circ=\dfrac {\sqrt 2}2,$$ 因此 $x$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 2}2-r,\dfrac{\sqrt 2}2+r\right]$，从而 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的取值范围是 $\left[2-2\sqrt 2,2+2\sqrt 2\right]$．