2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#12
已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$,点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}\right|=2$,则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ ( )
A.最小值为 $4-2 \sqrt{2}$
B.最大值为 $2+2 \sqrt{2}$
C.最小值为 $2-2 \sqrt{2}$
D.最大值为 $4+2 \sqrt{2}$
答案 BC.
解析 设 $AB$ 的中点为 $M$,则点 $P$ 在以 $M$ 为球心半径 $r=1$ 的球上运动,而 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}$ 为 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\overrightarrow{AD}$ 上投影数量 $x$ 的 $2\sqrt 2$ 倍.考虑 $\overrightarrow{AM}$ 在 $\overrightarrow{AD}$ 上的投影数量为\[\left|\overrightarrow{AM}\right|\cdot \cos60^\circ=\dfrac {\sqrt 2}2,\]因此 $x$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt 2}2-r,\dfrac{\sqrt 2}2+r\right]$,从而 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的取值范围是 $\left[2-2\sqrt 2,2+2\sqrt 2\right]$.