2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#9
$x^3+p x^2+qx+r=0$ 在 $(0,2)$ 有三个实数解，则 $p+q+r$ 可能的取值为（ ）
A．$-2$
B．$-\dfrac 32$
C．$-1$
D．$-\dfrac 12$
答案 BCD．
解析 设 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$，$f(x)$ 在 $(0,2)$ 内的三个零点分别为 $x_1,x_2,x_3$，则\[p+q+r=f(1)-1,\quad f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3),\]从而\[p+q+r=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)-1,\]而 $1-x_1,1-x_2,1-x_3$ 在 $(-1,1)$ 上独立变化，从而 $p+q+r$ 的取值范围是 $(-2,0)$，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．