每日一题[3529]根系关系

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#9

$x^3+p x^2+qx+r=0$ 在 $(0,2)$ 有三个实数解，则 $p+q+r$ 可能的取值为（       ）

A．$-2$

B．$-\dfrac 32$

C．$-1$

D．$-\dfrac 12$

答案    BCD．

解析    设 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$，$f(x)$ 在 $(0,2)$ 内的三个零点分别为 $x_1,x_2,x_3$，则

$$p+q+r=f(1)-1,\quad f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3),$$ 从而 $$p+q+r=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)-1,$$ 而 $1-x_1,1-x_2,1-x_3$ 在 $(-1,1)$ 上独立变化，从而 $p+q+r$ 的取值范围是 $(-2,0)$，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．