每日一题[3528]必要条件入手

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#8

已知集合 $\{\cos \alpha, \cos 2 \alpha, \cos 3 \alpha\}=\{\sin \alpha, \sin 2 \alpha, \sin 3 \alpha\}$，则 $\alpha$ 可以是（       ）

A．$\dfrac{\pi}{8}$

B．$-\dfrac{3 \pi}{8}$

C．$\dfrac{2 \pi}{3}$

D．$-\dfrac{\pi}{3}$

答案    ABC．

解析    根据题意，有 $$\sin\alpha+\sin 2\alpha+\sin 3\alpha=\cos \alpha+\cos 2\alpha+\cos 3\alpha,$$ 两边同乘以 $\sin\dfrac{\alpha}2$，积化和差可得 $$\cos\dfrac{\alpha}2-\cos\dfrac{7\alpha}2=\sin\dfrac{7\alpha}2-\sin\dfrac{\alpha}2\implies \sin\left(\dfrac{\alpha}2+\dfrac{\pi}4\right)=\sin\left(\dfrac{7\alpha}2+\dfrac{\pi}4\right),$$ 因此 $$\dfrac{7\alpha}2+\dfrac{\pi}4=\dfrac{\alpha}2+\dfrac{\pi}4+2k\pi~\text{或}~\pi -\left(\dfrac{\alpha}2+\dfrac{\pi}4\right)+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$ 也即 $$\alpha=\dfrac{2k\pi}3~\text{或}\dfrac{(4k+1)\pi}8,\quad k\in\mathbb Z,$$ 代入检验，可得 $\alpha=\dfrac{(4k+1)\pi}8$（$k\in\mathbb Z$），符合题意的选项有 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$．